Prueba épsilon-delta sobre la inducción/continuidad

Question

Mi pregunta es la misma que la planteada aquí: Un $\epsilon$ - $\delta$ prueba de la diferencia entre potencias de números reales

Veo que para el $n = 1$ podemos establecer delta igual a épsilon y observar que la afirmación se cumple. ¿Cómo puedo hacer esto para $n = 2$ ¿y para el caso inductivo?

He estado atascado en este problema durante $2$ días y no he sido capaz de entender realmente los pasos que requiere.

Answer 1

Recapitulando lo que sucede en el post que enlazaste, estamos tratando de establecer la continuidad del mapa $f(x) = x^n$ en $\mathbb R$ , donde $n$ es un número igual a $1,2,\dots$ . La "pista" es escribir una prueba en los casos $n = 1, 2$ y para establecer la identidad $u^n-y^n = (u-y)(u^{n-1} + u^{n-2}y + \dots + uy^{n-2} + y^{n-1})$ para resolver el problema general $n$ caso.

Esto es lo que ocurre para $n = 2$ . Queremos demostrar que $f(x) = x^2$ es continua, por lo que fijamos un punto arbitrario $u$ y un número de desafío $\varepsilon > 0$ . Queremos encontrar un $\delta > 0$ para que siempre que $y$ es un número que satisface $|u-y| < \delta$ tenemos $|u^2-y^2|<\varepsilon$ . Como es típico con $\varepsilon,\delta$ -prueba, suponemos que $|u-y| < \delta$ (en este punto $\delta$ es aún indeterminado) y queremos utilizar la libertad de elegir $\delta$ para intentar que la expresión $|u^2-y^2|$ pequeño (¿cómo de pequeño? Nuestro objetivo es $< \varepsilon$ ) con sólo dos cosas (en realidad tres cosas):

• la suposición de que $|u-y| < \delta$ y
• la libertad de elegir $\delta$ y
• (conocimiento de la función $f(x) = x^2$ )

Por lo tanto, un dato (uno de los únicos que tenemos de la lista anterior) es utilizar ese $|u-y| < \delta$ . Para utilizar este dato con el fin de establecer $|u^2 - y^2| < \varepsilon$ nos gustaría relacionar la expresión $|u^2-y^2|$ a la expresión $|u-y|$ . Aquí es donde utilizamos el tercer punto de datos especial, que da este particular $\varepsilon,\delta$ problema su sabor único. Sabemos de la identidad $u^2-y^2 = (u-y)(u+y)$ (que es el $n=2$ caso de la identidad que relaciona $u^n-y^n$ a $u-y$ ). Si utilizamos esta identidad, entonces podemos decir $$ |u^2-y^2| = |u-y|\cdot|u+y| < \delta\cdot|u+y|. $$ Ahora, es de esperar que nos hayamos acercado a la expresión que buscamos ( $|u^2-y^2| < \varepsilon$ ) consiguiendo una expresión que implique $\delta$ (una de las cosas que se nos permite elegir, lo que debería ayudarnos al final), y la expresión $|u+y|$ que ya no implica la función $f(x) = x^2$ más. En este punto, deberíamos intentar utilizar de nuevo el primer punto de datos (que $|u-y|<\delta$ ) para transformar la expresión $|u+y|$ en algo que implique $\delta$ y el punto particular $u$ que elegimos. En la respuesta que enlazaste, escriben $$ |u + y| \le |u| + |y| \quad(\text{triangle inequality}), $$ y luego $$ |y| = |u + y-u|\le |u| + |y-u|\quad (\text{an example of the useful idea of adding $ 0 $ in a helpful way}). $$ Juntando estos dos pasos con nuestro primer paso de escribir $|u^2-y^2| < \delta\cdot|u+y|$ obtenemos $$ |u^2-y^2| \le \delta\cdot(|u| + |u| + |y-u|). $$ Obsérvese que este trabajo se hizo con la intención de transformar la expresión $|u+y|$ en algo relacionado con $|u-y|$ y el resultado del trabajo fue la "transformación" $$ |u+y|\leadsto |u| + |u| + |y-u|. $$ Veamos si este trabajo fue fructífero o no ( $\varepsilon,\delta$ Las pruebas son como la resolución de integrales: no hay ninguna garantía de que lo que se intente vaya a funcionar, pero hay decisiones que son más naturales que otras, y la experiencia es la única forma de mejorar en la resolución de esos problemas).

Si utilizamos la suposición $|u-y| < \delta$ (y la igualdad $|y-u| = |u-y|$ ), entonces vemos que hemos conseguido $$ |u^2-y^2| < \delta\cdot (2|u| + \delta). $$ En este momento, estamos en la posición ideal. Hemos sustituido la expresión $|u^2-y^2|$ con una expresión que sólo incluya $u$ el punto con el que empezamos, y $\delta$ (a modo de apunte, en una prueba de continuidad uniforme, nos gustaría hacerlo aún mejor, y terminar con una expresión que sólo implique $\delta$ y no el punto concreto $u$ De ahí que el uniformidad de la continuidad-el $\delta$ que elijamos podrá ser elegido independientemente de la personalidad excéntrica del $u$ con la que empezamos).

Así que nuestro trabajo valdrá la pena si ahora podemos elegir $\delta$ para ser tan pequeño que $\delta(2|u| + \delta) < \varepsilon$ . Bueno, vamos a hacer una reescritura más: $$ \delta\cdot (2|u| + \delta) = 2|u|\delta + \delta^2, $$ por lo que sustituimos nuestra expresión por una suma de dos términos. Un objetivo común ahora es hacer que cada plazo individual sea menor que $\varepsilon/2$ para que la suma sea inferior a $\varepsilon$ . Para que el primer término $2|u|\delta< \varepsilon/2$ simplemente "resuelve para $\delta$ " y elija $$ \delta < \frac{\varepsilon}{2\cdot 2|u|} = \frac{\varepsilon}{4|u|}, $$ pero sólo si $u \ne 0$ para no dividir por $0$ . Si $u = 0$ entonces el primer término ya es igual a $0$ que es menor que $\varepsilon/2$ . Ahora queremos hacer $\delta^2 < \varepsilon/2$ por lo que hay que resolver $\delta$ de nuevo, para ver que podemos tomar $\delta < (\varepsilon/2)^{1/2}$ . ¿Cómo podemos garantizar que podemos elegir $\delta$ tan pequeño como para garantizar que ambos términos sean menores que $\varepsilon/2$ ? Podemos simplemente elegir $\delta$ sea menor que el mínimo de ambas expresiones, por lo que finalmente decimos que si $u\ne 0$ , $$ \text{"let $ \displaystyle\delta < \min\left(\frac{varepsilon}{4|u|},\left(\frac{varepsilon}{2}{right)^{1/2}{right) $,"} $$ y si $u = 0$ decimos que $$ \text{"let $ \displaystyle\delta < \left(\frac{varepsilon}{2}\right)^{1/2} $."} $$ Esta elección de $\delta$ garantiza que $|u^2-y^2| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$ (o $|0^2-y^2| < \varepsilon/2 < \varepsilon$ ), así que hemos terminado.

El trabajo que hicimos para manejar el término $|u+y|$ es un ejemplo de un problema esencial en el análisis, el de "encontrar estimaciones" (que en mi opinión da al análisis gran parte de su emoción, de forma totalmente análoga a como la gente familiarizada con este sitio sabe que la resolución de integrales aporta emoción). El general $n$ es similar, pero implica "estimaciones" más intrincadas porque tenemos que manejar el término más complejo $u^{n-1} + u^{n-2}y + \dots + uy^{n-2} + y^{n-1}$ pero el trabajo se reduce a utilizar los puntos de datos y hacer todo lo posible para tomar las decisiones más naturales en cada momento. Para el caso de $n$ En algún momento nos gustaría utilizar el punto de datos adicional, que es la hipótesis inductiva de que $f(x) = x^{k}$ para $1\le k \le n-1$ es continua. Para ello, queremos transformar la expresión $u^{n-1} + u^{n-2}y + \dots + uy^{n-2} + y^{n-1}$ en algo que implique la función $f(x) = x^k$ para posiblemente algunos o todos $1\le k \le n-1$ Y puedes ver un ejemplo de cómo se hace en el post que has enlazado. Tal vez sea importante señalar que se trata de un ejemplo de "inducción fuerte" porque suponemos $f(x) = x^k$ es continua para todo $1 \le k \le n-1$ en lugar de simplemente para $k = n-1$ . Mucha suerte y felices estimaciones.