Convergencia de $x_{n+1}=\frac{1}{3}(x_n^2+2)$

Question

Dejemos que $0<x_0<1$ . Dada la secuencia recursiva definida $x_{n+1}=\frac{1}{3}(x_n^2+2)$ para $n \in \mathbb{N}$ . Demuestra que esta secuencia converge y calcula su valor.

Demuestre que está acotado por encima con $x_n <1$ Caso base: $x_1=\frac{1}{3}(x_0^2+2)<1$ Hipótesis de inducción: Sea $x_k<1$ Paso de inducción: $n\rightarrow n+1$

$x_{n+1}=\frac{1}{3}(x_n^2+2)<1$ .

Demuestra que es monotónicamente no decreciente: $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{3}(x_n^2+2) -x_n=...$ He hecho algunos pasos más, pero no veo por qué esto es al final $>0$ ...

Answer 1

A continuación mostramos que $x_n\to 1$ .

Set $y_n=x_n-1$ entonces $y_0\in (-1,0)$ y $$ y_n=\frac{y_n+2}{3}\cdot y_n. $$

Lo demostraremos: $y_{n}\in \left(-\dfrac{2^n}{3^n},0\right)$ .

Sí, es cierto, $y_0\in (-1,0)$ . Supongamos que $y_{k}\in \left(-\dfrac{2^k}{3^k},0\right)$ . Entonces $$ \frac{2y_k+2}{3} \in \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right), $$ y por lo tanto $$ y_{k+1}=y_k\cdot \frac{2y_k+2}{3} \in \left(-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}},0\right) $$

Una vez demostrado esto, implica que $y_n\to 0$ y por lo tanto $x_n\to 1$ .

Answer 2

Sugerencia : \begin{align*} \frac 1 3 (x_n^2 + 2) - x_n &= \frac 1 3 (x_n^2 - 3x_n + 2) \\ &= \frac 1 3 (x_n - 2)(x_n - 1) \end{align*}

Ahora utiliza la parte anterior.

Answer 3

Que sea $f(x)={1\over 3}(x^2+2)$ . $f'(x)={2\over 3}x$ y nosotros sí: $$ x\in[0,1]\implies 0\le f(x)={1\over 3}(x^2+2)\le{1\over 3}(1+2)=1, $$ $$ x\in[0,1]\implies 0\le f'(x)={2\over 3}x\le{2\over 3}<1. $$ Así que $f:[0,1]\longrightarrow[0,1]$ es contractiva y el límite de la secuencia es el único punto fijo de $f$ .