¿Es el producto cruzado de dos vectores una transformación lineal? (Álgebra lineal)

Question

• Información de fondo:

Estoy estudiando álgebra lineal. Para esta pregunta, entiendo la definición de un vector en $$R^3 => v =(x,y,z)$$ y sé que una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W es un mapa

$$T: V->W $$ tal que se cumpla lo siguiente:

1. $$T(v1+v2)=T(v1) + T(v2)$$ para cualquier vector v1 y v2 en V, y

2. $$T(av) = a T(v)$$ para cualquier escalar alfa a.

También sé cómo calcular el producto cruzado entre dos vectores.

• Pregunta:

Sea a un vector fijo en R3. ¿Define T(x) = a × x una transformación lineal?

• Mis pensamientos:

No entiendo cómo demostrar que T(a + x) = T(x) + T(a) y T(ax) = aT(x) para un producto cruzado. El hecho de que no se den los números también lo hace confuso. ¿Cómo puedo abordar este problema y demostrar que el producto cruzado es una transformación?

Answer 1

Lo creas o no, ¡el producto cruzado es lineal! Dejemos que $T(x) = a \times x$ por el hecho de ser fijo $a$ . Ahora, mostraré ambas condiciones a la vez. Elija $x, y \in \mathbb{R}^3$ . Ahora:

\begin{align*} T(kx + y) &= a \times (kx + y) \\ &= a \times (kx) + a \times y \\ &= k(a \times x) + a \times y \\ &= kT(x) + T(y) \end{align*}

¡Hecho! ¡Así que este mapa es lineal!

Answer 2

Incluso si se considera $$T(p,q) = p\times q,$$ esta función es un mapa 2-lineal, es decir, cuando se fija un argumento, la función es lineal con respecto al otro argumento.

Por lo tanto, el producto cruzado no es sólo una transformación lineal, sino que es una transformación 2-lineal.