¿Cuál es el error aproximado del Teorema de Pitágoras frente a la Fórmula de Haversine al medir distancias en una esfera a varias escalas?

Question

Muchas personas, al intentar calcular distancias entre dos pares de longitud / latitud, preguntan si el teorema de Pitágoras funciona como una función de distancia apropiada.

La mayoría de las veces la gente responde "no, el teorema de Pitágoras solo funciona en un plano euclidiano 2D". Sin embargo, raramente las personas mencionan el efecto de la escala y la ubicación en la esfera en qué tan inexacto es el teorema de Pitágoras.

La idea básica es que a escalas muy pequeñas, la superficie de una esfera se parece mucho a un plano. A escalas muy grandes, las distancias a lo largo de la superficie son más curvas y por lo tanto, la diferencia entre el incorrecto teorema de Pitágoras y la correcta Fórmula de Haversine es mayor.

¿Alguien conoce una fórmula o regla práctica que te indique la diferencia entre las dos medidas de distancia basada en la escala de la distancia que estás tratando de medir?

Creo que tener esto explícitamente ayudaría en:

1. explicar por qué el teorema de Pitágoras no es perfecto; y
2. en permitir a las personas que buscan distancias más "aproximadas" saber cuándo realmente servirá el propósito de Pitágoras.

Answer 1

Usar la fórmula de Pitágoras en posiciones dadas en latitud y longitud tiene tan poco sentido como, por ejemplo, calcular el área de un círculo usando la fórmula de un cuadrado: aunque produce un número, no hay razón para suponer que debería funcionar.

Aunque a pequeñas escalas cualquier superficie suave se ve como un plano, la precisión de la fórmula de Pitágoras depende de las coordenadas utilizadas. Cuando esas coordenadas son latitud y longitud en una esfera (o elipsoide), podemos esperar que

1. Las distancias a lo largo de las líneas de longitud serán razonablemente precisas.

2. Las distancias a lo largo del Ecuador serán razonablemente precisas.

3. Todas las demás distancias serán erróneas, en proporción aproximada a las diferencias en latitud y longitud.

El error depende del punto de inicio y final de los cálculos de distancia. Sin embargo, debido a que tanto la esfera como el elipsoide tienen una simetría circular alrededor del eje, el error depende solo de la diferencia de las longitudes, por lo que para estudiar este error podríamos considerar el punto de origen en el Meridiano Primario. Debido a que tanto la esfera como el elipsoide son simétricos bajo una reflexión norte-sur, solo necesitamos estudiar puntos de origen en el hemisferio sur. Para cualquier punto de este tipo podemos dibujar un mapa de contorno del error relativo, igual a [cálculo pitagórico] / [distancia real].

La fórmula de Pitágoras, usando el radio medio de la Tierra, es

Distancia pitagórica = 6371000. * Sqrt[dx^2 + dy^2]] * pi / 180 metros

donde dx es la diferencia en longitudes y dy es la diferencia en latitudes, ambos en grados. (La diferencia en los valores de longitud se reduce módulo 360 para dar el valor correcto de dx al cruzar el antimeridiano; no hacerlo introduciría errores artificialmente grandes que no nos dirían nada sobre la fórmula de Pitágoras en sí misma.)

Los siguientes gráficos muestran el error relativo en comparación con la distancia correcta en el elipsoide WGS 84 para latitudes de -70 a 0 en incrementos de 10 grados. La coordenada horizontal es la diferencia en longitudes y la coordenada vertical es la latitud de destino. Las regiones claras tienen errores relativamente pequeños: las líneas de contorno están en 1, 1.01, 1.02, 1.05, 1.1, 1.2, 1.5, 2, etc. (Las áreas blancas en las esquinas son lugares donde el error va más allá del rango de estos contornos.) Los puntos rojos muestran el punto de origen.

Las bandas blancas verticales atestiguan la corrección de la expectativa (1): las distancias pitagóricas son precisas cuando hay una pequeña diferencia en longitudes. Las bandas blancas horizontales en bajas latitudes confirman la expectativa (2): cerca del Ecuador, las distancias horizontales son razonablemente precisas. De lo contrario, como lo demuestran las extensas regiones más oscuras, en todas las otras distancias la fórmula de Pitágoras es mala.

---

Podemos hacer estimaciones cuantitativas del error máximo alcanzado para pares de puntos cercanos (dentro, digamos, de unos pocos cientos de kilómetros entre sí). A escala, utilizando un valor apropiado para el radio, es verdadero a lo largo del meridiano pero a lo largo de un círculo de latitud yerra aproximadamente por la secante de la latitud. Por ejemplo, en una latitud de 40 grados la secante es 1.31, lo que implica que la fórmula de Pitágoras dará distancias aproximadamente un 31% demasiado grandes en la dirección este-oeste. (Esto es evidente en el gráfico de contorno en la esquina superior derecha, para un punto de origen en una latitud de -40 grados, donde la región inmediatamente este-oeste del punto rojo está entre las líneas de contorno 1.2 y 1.5). Las distancias cortas en todas las otras direcciones serán demasiado grandes en algún valor entre 0% y 31%; las distancias más largas pueden errar incluso más (como muestran los gráficos de contorno).

Answer 2

Interpreto "distancia de Pitágoras" como "distancia euclidiana". Entonces la respuesta es la misma que "¿cuál es la diferencia entre la longitud de una cuerda de un círculo y el perímetro subtendido?" Sea el radio R, el ángulo subtendido es A (radianes).

perímetro = L = A*R
cuerda = C = 2*sin(A/2)*R
diferencia = D = L - C
           = (A-2*sin(A/2))*R
           = A^3/24 * R  (para A pequeña)
           = L^3/(24*R^2) (eliminando A)
error relativo = D/L
               = (L/R)^2/24

Para la tierra, sustituya R = 6400 km. Por cierto, llámelo "distancia del círculo máximo" (lo que es) no "distancia de haversine" (cómo se calcula). (Esto es similar a la distinción entre distancia pitagórica y distancia euclidiana.)

Answer 3

Para obtener una respuesta completa y rigurosa, consulta la respuesta de whuber arriba. Voy a responder de una manera más visual y básica.

La razón por la que los cálculos planos/ pitagóricos son inapropiados es porque los cálculos se basan en el hecho de que mover un paso en cualquier dirección es un cambio constante en magnitud sin importar dónde te encuentres en el gráfico.

La longitud no cumple con este requisito. Las líneas de longitud convergen en los polos.

Por eso, cuando aplanamos la Tierra para reflejar las reglas de un gráfico plano, obtenemos distorsión.

Si miras ese mapa, parece que Groenlandia es aproximadamente del tamaño de África y la Antártida es del tamaño de Eurasia. Por supuesto, eso no es cierto. Groenlandia y la Antártida están extremadamente distorsionadas porque están cerca de los polos donde la longitud converge.

Como puedes ver, Groenlandia es aproximadamente del tamaño de México.

Y la Antártida es aproximadamente del tamaño del sur de África (no Sudáfrica).

Como puedes ver, los errores que obtendrás al aplicar fórmulas pitagóricas dependen más de dónde estén los puntos que de la distancia entre ellos. Con la importante advertencia de que distancias más largas magnificarán cualquier error. Por eso, las soluciones planas, aunque tentadoras, son una mala opción. Las distorsiones te causarán problemas y no es tan simple como un desplazamiento. Los errores son el resultado de deformar la Tierra para encajar en reglas inapropiadas.