Condición para la intersección de un cilindro finito y una esfera

Question

Me parece que la respuesta a la siguiente pregunta es bien conocida, pero no he podido encontrar una referencia a ella, a excepción de una pregunta muy similar aquí y un artículo sobre Wikipedia .

Dado $h, r, R > 0$ y $(x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{R}^3$ , defina $$ C = \lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ |\ x^2 + y^2 = R^2 \text{ and } |z| \leq h \rbrace, $$ $$ S = \lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ |\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \rbrace. $$

¿Cuáles son las condiciones de $h, r, R, x_0, y_0, z_0$ para que $C \cap S \neq \emptyset$ ?

Mi enfoque ha sido sustituir $x^2 + y^2 = R^2$ en $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$ y considere rodajas de constante $z \in [-h, h]$ . La intersección deseada es vacía si la intersección de los círculos resultantes es vacía para cada $z$ .

Agradezco la ayuda. Gracias.

Editar: Algunos detalles adicionales a mi planteamiento.

Nota: si $C \cap S \neq \emptyset$ debe existir $z' \in [-h,h]$ tal que $$r^2 - (z' - z_0)^2 \geq 0$$ y $$(R - (r^2 - (z' - z_0)^2)^{\frac{1}{2}})^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq (R + (r^2 - (z' - z_0)^2)^{\frac{1}{2}})^2.$$

La primera desigualdad proviene de la exigencia de que la esfera se cruce con un plano en el que se definen las secciones transversales del cilindro. La segunda desigualdad es la condición para que dos círculos se crucen en el plano.

La primera desigualdad conduce a $$ z' \in [\max(z_0-r, -h), \min(z_0+r, h)]. $$

Answer 1

Hallar las secciones transversales de ambas superficies con el plano $z=z_0$ . Podemos ver geométricamente que una intersección entre estas 2 secciones transversales es la condición necesaria para la intersección entre $C$ y $S$ .

Así que queremos encontrar las condiciones tales que $x^2+y^2=R^2$ y $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ intersección. Podemos ver que hay una intersección cuando la distancia entre los dos centros es menor o igual que la suma de los radios. Esto implica que $\boxed{\sqrt{x_0^2+y_0^2}\leq R+r}$ .

Answer 2

Olvídese inicialmente de $h$ .

Considere el plano $\pi$ que contiene el eje del cilindro y el centro de la esfera, y proyecta los sólidos allí: se ve una generatriz del cilindro que atraviesa un gran círculo de la esfera.
A continuación, tome una proyección en el $x,y$ plano: se ve la intersección de dos círculos.
Te das cuenta de que hasta que las dos proyecciones se cruzan en $\pi$ también lo hacen los sólidos.

Por lo tanto se puede reducir el problema en 2D, ya que tiene una simetría cilíndrica, y encontrar los dos puntos de intersección en $z$ . A continuación, compare $[z_1, z_2]$ con $[-h,h]$

Answer 3

La distancia del eje del cilindro $(x=0, y = 0)$ al centro de la esfera debe ser menor que el radio de la esfera más el radio del cilindro.

$R + r < \sqrt {x_0^2 + y_0}^2$

Answer 4

La condición final es la siguiente: $$\begin{cases}h\ge0\\ \lvert z_0\rvert\ge h\\ (h-\lvert z_0\rvert)^2+\left(\lvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\le r^2\\ r^2\le(h+\lvert z_0\rvert)^2+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\end{cases}\lor\begin{cases}h> 0\\ \lvert z_0\rvert<h\\ \left\lvert \lvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right\rvert\le\lvert r\rvert\\ r^2\le(h+\lvert z_0\rvert)^2+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\end{cases}$$

Y la interpretación de esto en términos de segmentos divertidos se deja a quien quiera hacerlo.

En primer lugar, recordemos que el sistema paramétrico $$\begin{cases}c_1\le ax+by\le c_2\\ x^2+y^2=R^2\end{cases}$$ tiene soluciones en $(x,y)$ si y sólo si $$\begin{cases} c_1\le \lvert R\rvert\sqrt{a^2+b^2}\\c_2\ge-\lvert R\rvert\sqrt{a^2+b^2}\\ c_2\ge c_1\end{cases}$$

Ahora, su condición es que el siguiente sistema tenga soluciones en $(x,y,z)$ \begin{align}&\begin{cases}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2\\ x^2+y^2=R^2\\ \lvert z\rvert\le h\end{cases}\\\\\hline\\&\begin{cases} h\ge 0\\(z-z_0)^2=r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y\\2=R^2\\\N -h\le z\le h\\Nfinalizar. \begin{cases}z=z_0+\sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\\(i)\begin{cases}r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y\ge0\\ \sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\le h-z_0\\ \sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\ge-h-z_0\\ x^2+y^2=R^2\\ h\ge 0\end{cases}\end{cases} \N - El cloruro de calcio \begin{cases}z=z_0-\sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\\(ii)\begin{cases}r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y\ge0\\ \sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\ge z_0-h\\ \sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\le h+z_0\\ x^2+y^2=R^2\\ h\ge 0\end{cases}\end{cases}\end{align}

Ahora, está claro que la disyunción de los dos sistemas tiene soluciones en $(x,y,z)$ si y sólo si $(i)\lor (ii)$ tiene soluciones en $(x,y)$ . Observemos que $(ii)_{R,r,h,x_0,y_0,z_0}$ es sólo $(i)_{R,r,h,x_0,y_0,-z_0}$ . Por lo tanto, vamos a centrarnos en $(i)$ .

\begin{align}&\begin{cases}r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y\ge0\\ \sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\le h-z_0\\ \sqrt{r^2-R^2-x_0^2-y_0^2+2x_0x+2y_0y}\ge-h-z_0\\ x^2+y^2=R^2\\ h\le0\end{cases} \\\\\hline\\_es & \begin{cases}2x_0x+2y_0y\ge R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ h\ge z_0\\ 2x_0x+2y_0y\le(h-z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ z_0\le- h\\ 2x_0x+2y_0y\ge(h+z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ x^2+y^2=R^2\\ h\ge0\end{cases}\lor\begin{cases} 2x_0x+2y_0y\ge R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\ h\ge z_0\ge 2x_0x+2y_0y\le(h-z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\ z_0>-h\ x^2+y^2=R^2\\ h\ge0end{cases}\\\\\\\hline\h& \begin{cases}z_0\le- h\\ 2x_0x+2y_0y\le(h-z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ 2x_0x+2y_0y\ge(h+z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ x^2+y^2=R^2\\ h\ge0\end{cases}\lor\begin{cases} -h<z_0\le h\\\nde 2x_0x+2y_0y\ge R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\nde 2x_0x+2y_0y\le(h-z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\nde x^2+y^2=R^2\nde h>0end{cases}end{align}

Por el lema anterior sobre la intersección de un círculo con una franja, los sistemas disjuntos anteriores tienen soluciones en $(x,y)$ si y sólo si $$\begin{cases}z_0\le- h\\ (h+z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\le2\lvert R\rvert\sqrt{x_0^2+y_0^2}\\ -2\lvert R\rvert\sqrt{x_0^2+y_0^2}\le(h-z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ (h-z_0)^2\ge(h+z_0)^2\\ h\ge0\end{cases}\lor\begin{cases}-h<z_0\le h\\ 2\lvert R\rvert\sqrt{x_0^2+y_0^2}\ge R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ -2\lvert R\rvert\sqrt{x_0^2+y_0^2}<(h-z_0)^2+R^2+x_0^2+y_0^2-r^2\\ (h-z_0)^2\ge0\\ h>0\end{cases}$$ Y esto último puede simplificarse a $$\begin{cases}z_0\le- h\\ (h+z_0)^2+\left(\rvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\le r^2\\ r^2\le(h-z_0)^2+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\\ h\ge0\end{cases}\lor\begin{cases}-h<z_0\le h\\ \left\lvert\lvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right\rvert\le \lvert r\rvert\\ r^2\le(h-z_0)^2+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\\ h>0\end{cases}$$

Llamemos a estas dos condiciones $(ia)$ y $(ib)$ . Como se ha comentado antes, $(ii)$ es sólo $(i)$ con el parámetro $-z_0$ en lugar de $z_0$ por lo que tiene soluciones en $(x,y)$ si y sólo si $$\begin{cases}z_0\ge h\\ (h-z_0)^2+\left(\rvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\le r^2\\ r^2\le(h+z_0)^2+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\\ h\ge0\end{cases}\lor\begin{cases}-h\le z_0< h\\ \left\lvert\lvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right\rvert\le \lvert r\rvert\\ r^2\le(h+z_0)^2+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\\ h> 0\end{cases}$$

Llamemos a estas dos condiciones $(iia)$ y $(iib)$ . El sistema original tiene soluciones si y sólo si $(ia)\lor(ib)\lor(iia)\lor(iib)$ . Ahora, fíjate que $(ia)\lor (iia)$ equivale a $$\begin{cases}\lvert z_0\rvert\ge h\\ (h-\lvert z_0\rvert)^2+\left(\rvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\le r^2\\ r^2\le(h+\lvert z_0\rvert)^2+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\\ h\ge0\end{cases}$$ Además, $((ib)\land z_0=h)\Rightarrow (iia)$ y $((iib)\land z_0=-h)\Rightarrow (ia)$ . Por lo tanto, $(ia)\lor (iia)$ equivale a $(ia)\lor(iia)\lor((ib)\land z_0=h)\lor((iib)\land z_0=-h)$ . Todo lo que queda es la parte $((ib)\land z\ne h)\lor((iib)\land z\ne -h)$ . Obsérvese que esto equivale a $$\begin{cases}\lvert z_0\rvert<h\\ \left\lvert\lvert R\rvert-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right\rvert\le \lvert r\rvert\\ r^2\le\max((h+z_0)^2,(h-z_0)^2)+\left(\lvert R\rvert+\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right)^2\\ h>0\end{cases}$$

Desde $h\ge0$ tenemos que $\max((h+z_0)^2,(h-z_0)^2)=(h+\lvert z_0\rvert)^2$ . Con esto concluye la prueba.