Bueno, quiero saber si la función de meromorphic puede escribirse como cociente de dos holomorphic de la función en $\mathbb{C}$ o en una superficie de Riemann. Gracias por la ayuda.
Respuesta
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a) En una compacta superficie de Riemann $X$ holomorphic funciones son constantes por lo que los cocientes de holomorphic funciones son sólo las constantes también. En las fórmulas: $$\mathcal O(X)=\mathbb C \; ,\quad \text{Frac} (\mathcal O(X))=\mathbb C$$ However a deep theorem (Riemann's Existence Theorem) assures us that there exists a non-constant meromorphic function on $X$ and that these meromorphic functions form a finitely generated field of transcendence degree one over $\mathbb C$ ($\;trdeg_ \mathbb C\mathcal M(X)=1$), so that the answer to your question is negative for compact Riemann surfaces: $$\text{Frac} (\mathcal O(X))=\mathbb C \subsetneq \mathcal M(X)$$
b) En un no-compacto de superficie de Riemann $Y$ sin embargo, otro de difícil teorema, demostró por primera vez sólo en 1948 por Behnke y Stein, dice que, de hecho, cada función de meromorphic es el cociente de dos holomorphic funciones . En la fórmula: $$ \text{Frac} (\mathcal O(Y))= \mathcal M(Y) $$
El moderno punto de vista es que esta es una sencilla consecuencia de la difícil resultado que $Y$ es una Stein colector, el análogo en la compleja geometría analítica de un afín variedad algebraica.
Bibliografía Como de costumbre, Forster Conferencias sobre las Superficies de Riemann es la mejor referencia para estas preguntas.
