Energía cinética con respecto a diferentes marcos de referencia

Question

Tengo problemas para entender la siguiente situación. Supongamos que dos coches de 1 tonelada van con las mismas orientaciones pero con sentidos opuestos, cada uno a 50 km/h con respecto a la carretera. Entonces la energía total es

$$\begin{eqnarray}E=E_1+E_2&=&\frac{1\mathrm t\times(50\mathrm{km}/\mathrm h)^2}2+\frac{1\mathrm t\times(50\mathrm{km}/\mathrm h)^2}2\\&=&1\mathrm t\times(50\mathrm{km}/\mathrm h)^2\\&=&2500\frac{\mathrm t\times\mathrm{km}^2}{\mathrm h^2}.\end{eqnarray}$$

Ahora bien, si lo miramos desde el punto de vista de uno de los coches, entonces la energía total es

$$\begin{eqnarray}E=E_1+E_2&=&\frac{1\mathrm t\times(0\mathrm{km}/\mathrm h)^2}2+\frac{1\mathrm t\times(100\mathrm{km}/\mathrm h)^2}2\\&=&\frac{1\mathrm t\times(100\mathrm{km}/\mathrm h)^2}2\\&=&5000\frac{\mathrm t\times\mathrm{km}^2}{\mathrm h^2}.\end{eqnarray}.$$

Sé que la energía cinética se supone que que cambie cuando cambie el marco de referencia. Pero entiendo que entonces debe haber algún otro tipo de energía que lo compense para que la energía del sistema permanezca inalterada. Pero yo no veo ningún otro tipo de energía aquí. Sólo veo dos energías totales del mismo sistema que parecen ser diferentes. ¿Podría explicarme esto?

Por favor, ten en cuenta que aunque no entiendo nada de física, sí entiendo de matemáticas de nivel universitario, así que si es necesario, por favor, úsalo. (Dudo que aquí se necesite algo más que matemáticas de bachillerato, pero quiero decirlo por si acaso).

Answer 1

Has descubierto con éxito que la energía cinética depende del marco de referencia.

Eso es realmente cierto. Sin embargo, lo sorprendente es que el hecho de que la energía cinética se conserve es NO dependiente del marco de referencia. Por lo tanto, cuando equilibres tu ecuación de conservación de la energía en los dos marcos, encontrarás números diferentes para la energía total, pero también verás que la energía antes y después de una colisión elástica será ese mismo número.

Entonces, derivemos la conservación de la energía en dos marcos de referencia. Voy a modelar una colisión elástica entre dos partículas. En el primer marco de referencia, voy a suponer que la segunda partícula es estacionaria, y tenemos:

$$\begin{align} \frac{1}{2}m_{1}v_{i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}0^{2} &= \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}\\ m_{1}v_{i}^2 &= m_{1}v_{1}^{2} + m_{2}v_{2}^{2} \end{align}$$

para ahorrarme tiempo y energía, voy a llamar a $\frac{m_{2}}{m_{1}} = R$ y tenemos:

$$v_{i}^{2} = v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2}$$

Ahora, ¿qué sucede si cambiamos a un marco de referencia diferente, moviéndonos hacia la derecha con velocidad v? Esto es esencialmente lo mismo que restar $v$ de todos estos términos. Por lo tanto, tenemos:

$$\begin{align} (v_{i}-v)^{2} + R(-v)^{2} &= (v_{1}-v)^{2} + R(v_{2}-v)^{2}\\ v_{i}^{2} -2v_{i}v + v^{2} + Rv^{2} &= v_{1}^{2} - 2 vv_{1} + v^{2} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v + Rv^{2}\\ v_{i}^{2} -2v_{i}v &= v_{1}^{2}- 2vv_{1} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v\\ v_{i}^{2} &= v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2} + 2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2}) \end{align}$$

Entonces, ¿qué pasa? Se parece a la primera ecuación, excepto que tenemos este extra $2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2})$ ¿término? Bien, recuerda que el momento también tiene que conservarse. En nuestro primer fotograma, tenemos la ecuación de conservación del momento (recuerda que la segunda partícula tiene velocidad inicial cero:

$$\begin{align} m_{1}v_{i} + m_{2}(0) &= m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}\\ v_{i} &= v_{1} + Rv_{2}\\ v_{i} - v_{1} - Rv_{2} &=0 \end{align}$$

¡Y ahí lo tienes! Si el momento se conserva en nuestro primer cuadro, entonces aparentemente la energía se conserva en todos los cuadros.

Answer 2

Como usted dice, la energía es no invariante bajo el cambio de marco de referencia.

Imagina una pelota en movimiento. Tiene energía cinética, pero si me muevo en su marco de referencia, no la tiene. Es tan simple como esto.

No hay necesidad de compensar la energía perdida.

Answer 3

En la mecánica newtoniana, la energía cinética depende del sistema de referencia.

Si se tratara de una descripción relativista, la masa en reposo del sistema es invariante bajo impulsos y rotaciones.

Answer 4

La conservación de la energía es válida para un marco de referencia particular. supongamos que A tiene una energía de 100J en el marco 1, entonces si aplicamos una fuerza conservadora, entonces la energía total de A será de 100j en el marco 1. sin embargo, la energía cinética vista desde el marco 2 puede ser 80J inicialmente y después de la aplicación de la fuerza que se convierte en algo de energía potencial y algo de energía cinética cuyo total sigue siendo 80J.

Answer 5

Consideremos la energía cinética de un sistema de partículas respecto a un marco de referencia inercial dado, será la energía cinética del centro de masa del sistema respecto al marco + la energía cinética del sistema de partículas respecto al centro de masa. Creo que dada esta pista, podéis intentar demostrarlo vosotros mismos.