Cómo demuestro que hay al menos 12 caras de grado 5 para un grafo regular de grado 3 en el que no hay caras de grado inferior a cinco,

Question

¿cómo puedo probar esto?

Utilizando el lema del apretón de manos, la suma de los grados de los vértices = 2m.

Por lo tanto, tenemos $3n = 2m$ .

Uso de la fórmula de Euler : $n-m+f = 2,$ tenemos $\frac{2}{3}m - m +f = 2$

$\Rightarrow f - \frac{1}{3}m = 2$ .

No sé qué hacer a partir de ahora.

Answer 1

Si cuentas la longitud de cada cara, contarás cada arista dos veces. Sea $f_i$ denotan el número de caras de longitud $i$ . Entonces $$\begin{align*} 2m&=5f_5+6f_6+7f_7+\cdots\\&\geq 5f_5+6f_6+6f_7+\cdots\\ &= 5f_5+6(f_6+f_7+\cdots)\\&=5f_5 + 6(f-f_5) \\ & = 6f-f_5.\end{align*}$$

Así que $f_5\geq 6f-2m$ . Ahora usa lo que ya has derivado: $f=2+\frac{1}{3}m$ .