¿Existen categorías abelianas no triviales con sólo un número finito de objetos?

Question

El título dice más o menos lo que quiero. Por supuesto, las categorías abelianas deben contener al menos un objeto no nulo.

En particular, ¿existe una categoría abeliana que contenga sólo un objeto no nulo? Por un lado, esto equivale a construir un anillo que sea el endomorfismo del objeto no nulo. Por otro lado, esto equivale a construir un módulo especial por el teorema de Freyd-Mitchell.

Esto parece una tontería porque no es para lo que se inventó la categoría abeliana, pero realmente quiero saber la respuesta.

Answer 1

Tomemos la categoría de espacios vectoriales (a lo sumo) contables sobre nuestro campo favorito. Luego toma el cociente por la subcategoría de Serre de espacios vectoriales de dimensión finita. (Y toma una subcategoría esquelética para que tenga estrictamente sólo dos objetos).

Entonces se trata de una categoría abeliana con un solo objeto distinto de cero, cuyo anillo de endomorfismos es el anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión contable, localizado en el conjunto de endomorfismos con núcleo y cokernel de dimensión finita.