Según la sabiduría popular, en la Geometría hay estructuras que tienen un sabor más "topológico", otras que son más "geométricas" y otras que están a medio camino. Por lo general, las geometrías ${}^*$ que están más cerca del extremo topológico del espectro (posiblemente no totalmente ordenado) se denominan "blandas", mientras que las geometrías más cercanas al extremo geométrico se consideran "rígidas". Por ejemplo, las variedades topológicas, diferenciables y simplécticas se consideran blandas, mientras que las variedades riemannianas y analíticas complejas se consideran rígidas. Y las variedades algebraicas son objetos geométricos aún más rígidos que los colectores analíticos.
He observado que también hay una tendencia en la teoría de la deformación a utilizar el término "rígido" en el sentido contrario: rígido es algo que no se puede deformar ${}^{**}$ Así, por ejemplo, las variedades compactas diferenciables son rígidas en este sentido (gracias a un conocido teorema de Ehresmann), mientras que las variedades algebraicas suelen admitir deformaciones no triviales, por lo que no suelen ser "rígidas".
Además, cerca de los extremos del espectro (teoría de la homotopía, topología geométrica; geometrías finitas, geometría aritmética) parece prevalecer un enfoque más combinatorio/discreto/algebraico, mientras que en el centro del espectro (espacios métricos, geometría riemanniana, geometría analítica y algebraica compleja) parece haber un carácter más "continuo".
¿Cómo hacer que las distinciones anteriores de topología frente a geometría y/o suavidad frente a rigidez sean formalmente más rigurosas?
¿Qué otras características tiene el fenómeno de la suavidad frente a la rigidez?
Empecemos con algunas ideas sueltas sobre lo que tengo la impresión de que son características típicas de la topología frente a la geometría.
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Invariantes locales. ¿La estructura en un punto se distingue de los demás puntos o de los puntos de otros espacios, o todos tienen localmente el mismo aspecto? En el caso de las variedades topológicas, diferenciables y simplécticas no hay invariantes locales. Esto también ocurre en el caso de las variedades analíticas complejas, que solemos considerar como instancias de una geometría rígida, por lo que ciertamente no es una caracterización suficiente. Para las variedades riemannianas la curvatura es un invariante local no trivial (incluso puntual, en el sentido de que, aunque su definición implique una vecindad, las diferencias se pueden comprobar puntualmente). En geometría algebraica debemos ser más precisos en cuanto al significado de "localmente": ¿localmente (con respecto a alguna topología de Grothendieck) o infinitesimalmente local o formalmente local? Todas las variedades suaves sobre un campo se parecen formalmente a un espacio afín, pero tienen un aspecto diferente localmente en la topología de Zariski. Una condición que se suele poner a los haces principales es local isotricidad (es decir, la trivialidad local en la topología étale); esta sutileza no aparece para los haces vectoriales (también conocidos como gavillas localmente libres).
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Robustez frente a deformabilidad Si se perturba la estructura de alguna manera, la estructura resultante sigue siendo isomórfica. La perturbación puede ser una deformación en el sentido de la teoría de la deformación, o simplemente elegir un dato lo suficientemente cercano (por ejemplo, una métrica riemanniana cercana a la original en el $\mathcal{C}^k$ topología). Según Ehresmann, las variedades diferenciables compactas son invariantes bajo deformaciones; pero las variedades diferenciables no compactas no lo son, ya que a partir de la dimensión $4$ puede haber fibraciones con fibras homeomórficas no difeomórficas, así que en cierto sentido es una característica menos puramente topológica. En la geometría analítica y algebraica, los espacios proyectivos son invariantes bajo deformación; y tengo la impresión de que también ocurre para las variedades definidas combinatorialmente/algebraicamente (por ejemplo, tóricas).
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Discreción de los módulos. Esto es de alguna manera la versión global del punto anterior. Una estructura "invariante de la deformación" no necesita tener módulos triviales, pero mientras que las estructuras topológicas tienden a tener espacios de módulos discretos (en cualquier sentido que entendamos por "espacio de módulos"), cuando los módulos son no discretos significa que hay algo geométrico. Por ejemplo, si no recuerdo mal, los haces de líneas sobre variedades tóricas tienen módulos discretos (el jacobiano es trivial), tal vez porque dependen sólo de la combinatoria de las órbitas, lo cual es -con alguna extensión del significado- una cosa topológica.
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Homogeneidad. En muchas categorías topológicas el objeto "genérico" tiende a tener un grupo transitivo de isomorfismos (incluso $n$ -transitivo a veces ). Esto ocurre para las variedades topológicas, diferenciables y simplécticas (diferenciables o analíticas reales). Por supuesto, la transitividad de los automorfismos también ocurre para los espacios homogéneos en categorías de objetos más bien "rígidos" (espacios homogéneos riemannianos, analíticos, algebraicos), pero son objetos muy especiales, no un representante "aleatorio" de su categoría. De todos modos, comparten con más categorías topológicas la posibilidad de ser descritas combinatorialmente/algebraicamente (células de Schubert del Grassmannian, álgebras de Lie).
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Obstrucciones. En algunas categorías blandas tenemos particiones de la unidad, que a menudo nos permiten parchear datos locales para obtener una cosa definida globalmente a partir de cosas definidas localmente; en categorías más rígidas esto no es así. Además, en las categorías rígidas hay problemas de extensión .
Yo diría que, cuando hay que comparar dos categorías de objetos geométricos en cuanto a suavidad/rigidez, nos encontramos en la siguiente situación. Tenemos las categorías $\mathcal{C}$ , $\mathcal{C}'$ concreto sobre alguna categoría de base $\mathcal{S}$ (estos últimos pueden ser conjuntos, o espacios topológicos, o cualquier cosa elegante como presheaves de conjuntos simpliciales sobre un sitio). Existe un "funtor de olvido" $\mathbb{U} :\mathcal{C}\to\mathcal{C}'$ que conmuta con las concretizaciones. Podemos decir (ojo que sólo estoy dando una vaga sugerencia y no tengo idea de una respuesta más precisa) que $\mathcal{C}'$ se obtiene "poniendo alguna estructura geométrica" en los objetos de $\mathcal{C}$ si se cumplen una o varias de las siguientes condiciones:
- $\mathbb{U}$ puede hacer desaparecer invariantes locales (por ejemplo, olvidando una métrica de Riemann en una colector).
- $\mathbb{U}$ puede convertir un objeto deformable (no trivial) en uno rígido por deformación.
- Si existe alguna noción de espacios de moduli $\mathcal{M},\mathcal{M}'$ para objetos de $\mathcal{C},\mathcal{C}'$ , entonces el mapa $\mathcal{M}\to\mathcal{M}'$ inducido por $\mathbb{U}$ tiene fibras no discretas.
- $\mathbb{U}(\mathrm{Aut}(X))\subset\mathrm{Aut}(\mathbb{U}X)$ .
${}^*$ (Desgraciadamente, el término "geometría" se utiliza, de forma ambigua, tanto en el sentido general de "perteneciente a los espacios de cualquier tipo" como en el sentido más localizado de "perteneciente a las estructuras que son métricas o, en cualquier caso, más rígidas que las topológicas". Por ejemplo, el término "geometría diferencial" se utiliza a veces como encabezamiento general que incluye la topología diferencial, y a veces como sinónimo de geometría riemanniana. Espero que en la pregunta se aclaren las ambigüedades por el contexto)
${}^{**}$ (En lugar de "rigidez", creo que un término más apropiado sería "elasticidad" o "flexibilidad", ya que al fin y al cabo uno puede encajar una variedad rígida como fibra especial de una familia, sólo que los vecinos deformados -es decir, las otras fibras- resultan ser isomorfos a la variedad con la que se empezó)
