¿Qué es exactamente una raíz cuadrada?

Question

Me he dado cuenta de que en realidad no entiendo lo que es una raíz cuadrada (la operación). ¡La única manera que conozco de sacar raíces cuadradas (o la raíz enésima, para el caso) es conocer la respuesta! Obviamente la raíz cuadrada se puede reescribir como $x^{1/2}$ Pero, ¿cómo se multiplica realmente algo por sí mismo la mitad de las veces?

¿Cómo realizan la operación las calculadoras?

Answer 1

¿Cómo se multiplica realmente algo por sí mismo la mitad de las veces?

El budismo zen tiene una pregunta similar: ¿Qué es el sonido de una mano aplaudiendo? Cuando mi padre me dijo, de pasada, un día, que $\sqrt x=x^{1/2}$ Tuve más o menos la misma reacción. Pero luego empecé a pensar para mis adentros: ¿Cuál es la propiedad fundamental de una raíz n-ésima, $\sqrt[\Large^n]x$ ? Es básicamente el número que, al multiplicarse n veces con ella misma, produce el valor deseado. Al mismo tiempo, $x^{1/n}$ multiplicado n veces consigo mismo, también da el mismo valor, ya que $\big(x^a\big)^b=x^{ab}$ .

Answer 2

Parece que entiendes lo que es una raíz cuadrada es muy bien; $\sqrt{x}$ es cualquier número con un cuadrado igual a $x$ .

Si se pregunta "¿cómo puedo calcular eso?", pues hay varios algoritmos posibles para ello. Como señala @TrevorWilson, Wikipedia tiene una página entera sobre el tema .

Un método consiste en elegir un número, elevarlo al cuadrado y ver si la respuesta es demasiado grande o demasiado pequeña. Una vez que tengas un número demasiado grande y otro demasiado pequeño, sabrás que la solución exacta está en algún lugar entre los dos. Entonces puedes subdividir recursivamente el rango en trozos cada vez más pequeños.

Como alternativa, un ordenador puede utilizar el método de Newton, que es bueno para resolver todo tipo de ecuaciones. $\sqrt{c}$ es la solución a $x^2 - c = 0$ que podemos resolver mediante

$$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - c}{2x_n}$$

Es decir, dado que $x_n$ es una estimación (posiblemente muy pobre) de $\sqrt{c}$ entonces $x_{n+1}$ es una mejor estimación. Repite la operación hasta que tengas suficiente precisión.

Answer 3

"¿Cómo se multiplica realmente algo por sí mismo la mitad de las veces?"

La respuesta es indirecta, por la definición del cuadrado. El cuadrado de la raíz cuadrada de un número es ese mismo número, o $$\left(\sqrt x\right)^2=x.$$

Resulta que esta definición es consistente con un exponente fraccionario. Para los exponentes enteros, se cumple la siguiente regla:

$$\left(x^a\right)^b=x^{ab}.$$

Entonces es natural escribir

$$\sqrt x=x^{1/2},$$ ya que esto da

$$\left(x^{1/2}\right)^2=x^{2/2}=x^1=x.$$

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Suponiendo que no supieras calcular una raíz cuadrada, podrías hacerlo por ensayo y error. Tomemos $\sqrt 2$ como ejemplo.

$1^2=1<2$

$2^2=4>2$

Prueba el primer decimal:

$1.1^2=1.21<2$

$1.2^2=1.44<2$

$1.3^2=1.69<2$

$1.4^2=1.96<2$

$1.5^2=2.25>2$

Prueba el segundo decimal:

$1.41^2=1.9881<2$

$1.42^2=2.0164>2$

$\cdots$

Algunas calculadoras siguen utilizando este método. Otras utilizan el método iterativo de Newton. También existe el método del logaritmo/antilogaritmo, pero éste es un concepto más avanzado.

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El método de Heron (un caso especial del método de Newton) se conoció muy pronto. Se basa en la observación de que si se conoce una aproximación de la raíz cuadrada $a\approx\sqrt x$ entonces $\dfrac x a$ es también una aproximación de la raíz cuadrada, y su media $\dfrac12\left(a+\dfrac xa\right)$ es aún mejor.

$$1\to\frac12\left(1+\frac21\right)=\frac32=1.5$$ $$\frac32\to\frac12\left(\frac32+\frac43\right)=\frac{17}{12}=1.41666\cdots$$ $$\frac{17}{12}\to\frac12\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right)=\frac{577}{408}=1.414215\dots$$

Answer 4

Dejemos que $n$ sea un número entero que no sea el cuadrado de ningún número entero. Ya se ha respondido a dos versiones de la pregunta, a saber

1. ¿Cuál es la definición de $\sqrt{n}$ , es decir ¿qué significa que un número dado sea una raíz cuadrada (o la raíz cuadrada positiva) de $n$ ?

2. ¿Cómo podemos aproximar $\sqrt{n}$ , es decir ¿cómo podemos encontrar números racionales (o decimales) cuyo cuadrado se acerque a $\sqrt{n}$ ?

Trataré de responder a otra versión de la pregunta que creo que está al acecho en el " es ".

3. ¿Qué tipo de objeto es cuyo cuadrado es $n$ ?

Según nuestra suposición, dicho objeto no puede ser un número entero. Además, no puede ser un número racional . Así que necesitamos un nuevo tipo de número. Aquí hay algunos enfoques:

1. Cortes de Dedekind . Si definimos los números reales como cortes Dedekind, entonces podemos definir simplemente $\sqrt{n}$ como el conjunto $\{a \in \mathbb{Q} : a^2 < n\}$ . Sin embargo, hay que argumentar para ver por qué tiene sentido considerar ese conjunto como una especie de número.

2. Secuencias de Cauchy . Un algoritmo para calcular raíces cuadradas da una secuencia de números racionales (que podemos considerar como aproximaciones cada vez mejores para $\sqrt{n}$ (sea lo que sea). Una secuencia de este tipo es una secuencia de Cauchy, lo que significa, a grandes rasgos, que parece que debería converger a algo, aunque todavía no sepamos qué es. Las secuencias dadas por diferentes algoritmos pueden no ser iguales, pero son equivalentes en el sentido de que parece que deben converger a la misma cosa (de nuevo esto se puede precisar) y así podemos definir de forma única $\sqrt{n}$ como esta clase de equivalencia de las secuencias de Cauchy.

3. Extensiones de campos algebraicos . Los cortes de Dedekind y las secuencias de Cauchy son exagerados para definir $\sqrt{n}$ en el sentido de que también añaden incontables otros números a $\mathbb{Q}$ que puede que no nos interese. Una forma más económica de sumar una raíz cuadrada de $n$ a $\mathbb{Q}$ es añadir un indeterminado $x$ para obtener el anillo de polinomios en $x$ con coeficientes racionales, y luego tomar un cociente de este anillo fijando el polinomio $x^2-n$ igual a cero, lo que nos da un campo que contiene $\mathbb{Q}$ y que también contiene un elemento $x$ que actúa como una raíz cuadrada de $n$ .

Answer 5

Preguntar qué es una raíz cuadrada "es" para un matemático, significa preguntar cómo es definido : si se me permite leer en lo que dices, no es eso lo que intentas averiguar aquí. Pero saber cómo se definen algunas otras cosas ayudará.

Así pues, empecemos por los números reales: lo que conoces como corrientes de dígitos decimales suele definirse de una forma u otra como todos los espacios entre números racionales. Los números racionales son los números enteros-fracciones que aprendiste en la escuela. Si quieres leer más sobre cómo hacer esto formalmente, esos espacios se llaman Cortes de Dedekind .

Hay otras dos observaciones clave sobre la elevación al cuadrado de los números que facilitan la obtención de una raíz cuadrada. La primera es: si $0 < a < b$ entonces $a^2 < b^2$ , esto tiene uno de esos nombres matemáticos que dan miedo (monotónico). La segunda es que si dos racionales están cerca uno del otro, entonces sus cuadrados están cerca uno del otro (continuo). (Esta última propiedad es en realidad aún mejor porque elevar al cuadrado no es sólo continuo pero diferenciable , que es una palabra complicada que significa que, cuando se amplía el gráfico, se convierte en una línea recta en todas partes: es como un círculo, no como un fractal).

Como es continua, la raíz cuadrada de cualquier número real positivo es siempre un bien definido número real positivo: Dado el hueco positivo entre racionales del que se quiere sacar la raíz cuadrada, la raíz cuadrada es el hueco positivo entre racionales tal que cualquier racional mayor que el hueco de la raíz cuadrada se eleva al cuadrado de un racional mayor que el hueco cuadrado, de forma similar para los números por debajo de los huecos. Así que todo número real tiene una raíz cuadrada real.

Y eso nos lleva a la primera y más fácil forma de encontrarlo, llamada bisección Supongo que sabes que la brecha desconocida $p$ correspondiente a un cuadrado conocido $p^2$ está entre dos racionales $r_1$ y $r_2$ Así que $r_1^2 < p^2 < r_2^2$ . Entonces toma el racional a medio camino entre esos dos, $r_m = (r_1 + r_2) / 2$ y ver si $r_m^2 < p^2$ (en cuyo caso sustituye a $r_1$ ) o si $r_m^2 > p^2$ (en cuyo caso sustituye a $r_2$ ). Esto reduce el espacio de búsqueda a la mitad. Después de tres o cuatro de estos, normalmente se conoce otro dígito decimal.

Ejemplo concreto: queremos la raíz cuadrada de 18. Elegimos un cuadrado perfecto menor que él, y uno mayor que él. Si lo hacemos a mano en decimales, nos ayuda conocer los números cuadrados hasta 100 y luego utilizar el hecho de que las raíces cuadradas distribuyen sobre la multiplicación para multiplicar la cuadrícula por 100: así que utilizamos una cuadrícula de {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 400, 900, 1600, ...}. Así que empezamos sabiendo que el valor está entre 16 y 25, por lo que la raíz cuadrada está entre 4 y 5.

Así que probamos con 4,5 2 \= 20,25, que es demasiado grande. Por tanto, la raíz cuadrada está entre 4 y 4,5. Probamos con 4,25 2 \= 18,0625, que sigue siendo demasiado grande, por lo que la raíz cuadrada está entre 4 y 4,25. Probamos con 4,125 2 \= 17,015625, que finalmente es demasiado pequeño, por lo que la raíz cuadrada está entre 4,125 y 4,25. Así que ahora probamos con 4,1875 2 \= 17,5..., entonces 4,21875 2 \= 17,79..., y en este punto podemos afirmar con toda seguridad que el número es aproximadamente 4.2 . El siguiente límite inferior es 4,234375 2 \= 17,9299..., el siguiente límite inferior es 4,2421875 2 \= 17.996... . Entonces empezaremos a reducir el límite superior de nuevo; al final puedes encontrar que la respuesta es 4,242640687119... y obtendrás un dígito decimal por cada tres o cuatro de estas operaciones que hagas.

Hay una forma mejor. Si has seguido ese ejemplo, te darás cuenta de que hemos descubierto que 4,25 2 estaba inusualmente cerca de 18, por lo que si lo hicieras a mano probablemente habrías adivinado que no 4.125 pero 4.24 en su lugar. Y sí, puede que a veces te equivoques con estas conjeturas, pero es mejor que hacer todo ese trabajo extra si no eres un ordenador.

Pues bien, hace mucho tiempo (en la época de Babilonia) descubrimos exactamente lo que deberías adivinar. La idea es que si tienes una conjetura $g$ que es menor que la raíz cuadrada de N por una pequeña cantidad $s$ Entonces no sabes $s$ pero sabes que $$N = (g + s)^2 = g^2 + 2 g s + s^2$$ . Ignorando el $s^2$ como ser (pequeño) * (pequeño) = (demasiado pequeño) da una aproximación para $s$ : $$s \approx s_g = (N - g^2) / (2 g)$$ lo que sugiere que deberías hacer tu próxima suposición $$g + s_g = \frac{g^2 + N}{2 g} = \frac{g + N/g}{2}$$ . Esta conjetura tiene incluso la agradable propiedad de que cuando se empieza con una subestimación se obtiene una ligera sobreestimación, y viceversa.

Por eso, para obtener la raíz cuadrada de 18, empezamos adivinando 4. Nuestra siguiente suposición es (4 + 18/4)/2 = 17/4, la misma "buena suposición" que obtuvimos antes: ahora sabemos que el número está entre 4,0 y 4,25. Volvemos a hacerlo para encontrar (17/4 + 18*4/17)/2, que da 577/136 o 4,24264..., por lo que ya tenemos nuestros dos siguientes dígitos (porque el hecho de que esté entre 4,24... y 4,25 significa que es 4,24...). Si haces el siguiente paso obtienes 665.857/156.944, lo que te permite saber que es 4,24264..., y si haces el siguiente paso obtienes 886.731.088.897 / 209.004.522.016, que está tan cerca de la raíz cuadrada que mi ordenador realmente no puede notar la diferencia (a doble precisión), así que con un paso más puedes probar que es ese valor (a doble precisión).