El ejercicio pretende demostrar la linealidad de la expectativa para variables aleatorias generales (es decir, no necesariamente negativas). Se define que para una v.r. general, $E[X] = E[X^+] -E[X^-]$ , donde $X^+$ es la parte positiva de $X$ , $X^-$ es la magnitud de la parte negativa de $X$ . En particular, $X^+,X^-$ son variables aleatorias no negativas.
Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos variables aleatorias generales con medias finitas, y sea $Z = X + Y$ .
- (a) Expresar $Z^+-Z^-$ en términos de $X^+,X^-,Y^+,Y^-$
- (b) Demuestre que $E[Z^+]-E[Z^-]=E[X^+]-E[X^-]+E[Y^+]-E[Y^-]$
Estoy atascado en la segunda parte. Me sale $E[Z] = E[X^+-X^-+Y^+-Y^-] = E[(X^++Y^+) - (X^-+Y^-)]\stackrel{?}{=}E[X^++Y^+]-E[X^-+Y^-]=E[X^+]-E[X^-]+E[Y^+]-E[Y^-]$ .
No hay ningún resultado directo en el libro que demuestre $\stackrel{?}{=}$ para sostener.
Porque para las variables aleatorias no negativas $X,Y$ Sólo se ha demostrado que $\forall a,b\geq 0, E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y]$ . Además, el ejercicio del libro afirma que esta propiedad es suficiente para hacer este ejercicio. (Dice literalmente "Pista: Reordena las relaciones de la parte (a) para que puedas hacer uso de (4.2.6)").
