$\lim \frac{n}{n^2+1}$ a medida que n llega al infinito.

Question

Encuentre $\lim \frac{n}{n^2+1}$ como $n$ va al infinito.

Para $\epsilon > 0$ , dejemos que $N = 1/\epsilon.$ Entonces $n > N$ implica $n > 1/\epsilon$ lo que implica $ \frac{1}{n} < \epsilon. $ Pero $\frac{1}{n} = \frac{n}{n^2} > \frac{n}{n^2+1}.$ Por lo tanto, $\frac{n}{n^2+1} < \epsilon, $ así que $\bigg| \frac{n}{n^2+1} -0 \bigg|< \epsilon. $

¿Es correcto lo anterior?

Answer 1

Sí, es correcto. Me gustaría proporcionar otra disposición de la prueba para su referencia, que se vería más "natural":

Si $n \geq 1$ entonces $$ \frac{n}{n^{2}+1} < \frac{1}{n}; $$ dado cualquier $\varepsilon > 0$ tenemos $\frac{1}{n} < \varepsilon$ si $n > \frac{1}{\varepsilon}$ ; por lo tanto, tomando $N := \lceil 1/\varepsilon \rceil + 1$ es suficiente.