Estimación de la derivada y la integral a partir de una tabla de datos

Question

Cómo se puede estimar f'(4). La gráfica de f podría parecerse a casi cualquier cosa en el intervalo (3, 5), así que cualquier estimación es plausible.

Para la segunda pregunta, ¿cómo puedes evaluar una integral que implique f'(x) cuando no sabes qué es f'(x)?

Answer 1

(a) Se puede aproximar una derivada mediante la llamada diferencia finita: $$f'(4)\approx \dfrac{f(5)-f(3)}{5-3}=\dfrac{-2-4}{5-3}=-3.$$ No se sabe lo que ocurre dentro del intervalo, así que esto es lo más útil que se puede decir sobre la derivada a 4. Si se conocieran los valores de la función más cercanos a 4, la estimación de $f'(4)$ sería mejor.

(b) La integral de una función derivada es la función original. $$\int_2^{13}(3-5f'(x))\mathrm{d}x=\int_2^{13}3\mathrm{d}x-5\int_2^{13}f'(x)\mathrm{d}x=3[x]_2^{13}-5[f(x)]_2^{13}\\=3(13-2)-5(f(13)-f(2))=33-5(6-1)=8.$$