Determinar la estructura del anillo $R'$ obtenido de $\Bbb Z$ al adjuntar un elemento $\alpha$ satisfaciendo $2\alpha=6$ y $6\alpha = 15$ .

Question

Determinar la estructura del anillo $R'$ obtenido de $\Bbb Z$ al adjuntar un elemento $\alpha$ satisfaciendo $2\alpha=6$ y $6\alpha = 15$ .

Así que el anillo que queremos describir es $\Bbb Z[x] /\langle 2x-6, 6x-15\rangle$ .

Ahora $$6x-15 = 3(2x-6)+3 \implies 6x-15 = 3$$ por lo que obtenemos que $$\Bbb Z[x] /\langle 2x-6, 6x-15\rangle \cong \Bbb Z[x]/\langle2x-6, 3\rangle \cong \Bbb Z_3[x]/\langle2x-6\rangle.$$

¿Es este el resultado final o todavía hay algo que pueda hacer con el anillo $\Bbb Z_3[x]/\langle2x-6\rangle$ ? Supongo que como estoy en $\Bbb Z_3$ Tengo eso $6 \equiv 0 \pmod{3}$ así que $$\Bbb Z_3[x]/\langle2x\rangle?$$

Answer 1

Sí, creo que es correcto. Sin embargo se puede decir algo más. De hecho $x$ es cero en tu anillo $R’$ porque $x=2(2x) $ y $2x \equiv 0 \mod 2x$ para que $x\equiv 0 \mod 2x$ . Esto significa que $R’$ coincide exactamente con $\mathbb{Z_3}$ y $0$ es la raíz común de sus polinomios en $\mathbb{Z}_3[t]$ :

$(2t-6)_{t=0}=0$

$(6t-15)_{t=0}=0$

Answer 2

Continuando con su enfoque: $$ \langle 2x-6, 6x-15\rangle = \langle 2x-6, 3\rangle = \langle 2x-6, 3, 6\rangle = \langle 2x, 3\rangle = \langle 2x, 3, 3x\rangle = \langle x, 3\rangle $$ y por lo tanto el anillo cociente es $\Bbb Z_3$ .