Promedio de estimaciones de probabilidad

Question

Digamos que un meteorólogo dice que hay un 80% de probabilidades de precipitaciones en un lugar y hora determinados.

Otro pronosticador dice que hay un 30% de posibilidades.

No tengo ninguna razón para pensar que un pronosticador sea mejor que otro. ¿Cuál es mi mejor estimación del porcentaje correcto de precipitaciones?

Puedo hacer una simple media aritmética: ¿55%? ¿O necesito otro tipo de media?

Answer 1

Como dicen los comentarios, no hay suficiente información para responder.

Sin embargo. Digamos que podemos confiar en que ambos son, según nuestra estimación, buenos pronosticadores. Pero, ¿qué significa realmente eso? Hay muchas formas de evaluar la calidad de las previsiones . En este contexto, puede ser aceptable (pero de ninguna manera necesario) adoptar este criterio: confiar en un pronosticador cada vez que diga "Hay una probabilidad $p$ de la lluvia" equivale a creer que el siguiente juego es justo: "Apuesto $1$ dólar que lloverá; yo gano $\frac{1-p}{p}$ si lo hace, lo pierdo si no". Puedes comprobar que la ganancia neta esperada es cero.

Entonces, en este escenario, podemos imaginar que las dos previsiones, con estimaciones $p_1$ $p_2$ desencadenar dos apuestas. Si llueve, ganaré $$\frac{1-p_1}{p_1}+\frac{1-p_2}{p_2}$$

y perderé $2$ si no. Esto es, en mi opinión, una apuesta justa. Pero esto equivale a una apuesta simple con probabilidad $p$ tal que

$$ \frac{1-p}{p}=\frac{1}{2} \left(\frac{1-p_1}{p_1}+\frac{1-p_2}{p_2}\right)$$

o

$$ p=\frac{2 p_1 p_2}{p_1+p_2}= \frac{2}{1/p_1 + 1/p_2} $$

Por lo tanto, la probabilidad equivalente (previsión única equivalente) es la media armónica de cada probabilidad individual.

En su ejemplo: $p = 43.6\%$

Una objeción contra esta propuesta: no es invariable frente a la negación. Si en lugar de "probabilidad de que llueva" se habla de "probabilidad de que no llueva", la probabilidad "media" equivalente no es uno menos el original.

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Una alternativa para hacer frente a la última objeción:

Una previsión con probabilidad $p$ se asocia a una apuesta que gana $a$ o perder $b$ . Tenemos las restricciones $a p - b (1-p) = 0$ (apuesta justa) y $a b = 1$ (invarianza sobre el complemento), lo que da $a=\sqrt{(1-p)/p}$ y $b=\sqrt{p/(1-p)}$

Por el mismo razonamiento, la probabilidad equivalente da ahora

$$p_{eq} = \frac{\sqrt{p_1 p_2}}{\sqrt{p_1 p_2}+\sqrt{(1-p_1)(1-p_2)}}$$

una especie de media geométrica normalizada.

En su ejemplo: $p_{eq} = 56.7\%$