¿Existe algún recurso que pueda ayudar a los no expertos a entender por qué el Invariante de Kervaire El problema sigue abierto ahora sólo en la dimensión $126$ ? ( $126 =2^7-2=2^{j+1}-2$ ; si $\theta_j=\theta_6$ existe en el " $128$ -stem"), es decir, por qué la célebre técnica de prueba Hill-Hopkins-Ravenel falla en este último caso? He leído una deliciosa exposición de Erica Klarreich ("Mathematicians solve 45-year-old Kevaire Invariant Puzzle," Los mejores escritos sobre matemáticas , 2010, 373 ss, Enlace de la Fundación Simons ), lo que despertó mi interés. Pero las diapositivas de la presentación en línea de Michael Hopkins anunciando el resultado en 2009 (" Aplicaciones del álgebra a un problema de topología ") están más allá de mi conocimiento. ¿Quizás sea un área demasiado abstrusa para todos, excepto para los expertos? Agradecería que se me indicaran las exposiciones. Gracias.
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Voy a dar una respuesta. Las dimensiones relevantes son de la forma $2^j-2$ . Para $j\leq 4$ , es fácil y clásico que podamos construir variedades de Kervaire invariantes. El problema fue ``reducido'' de la topología diferencial a la teoría de homotopía estable por Browder en 1969. Los métodos de cálculo directo en teoría de la homotopía fueron utilizados por Barratt, Jones y Mahowald para construir una complejo de células que puede utilizarse para resolver el problema de la teoría de la homotopía y demostrar que tales variedades también existen en las dimensiones 30 y 62. Creo que la construcción construcción de un colector de este tipo en dimensión 30, pero que ciertamente no se ha se ha hecho en dimensión 62. Los fenómenos de periodicidad juegan un papel muy importante en la moderna teoría de teoría de la homotopía estable, y una característica crucial de la prueba de Hill, Hopkins, Ravenel es una periodicidad de orden $2^8 = 256$ . Eso les permite resolver el problema de la homotopía estable y demostrar que no existe un colector de Kervaire invariante para $j\geq 8$ . Las razones $j=7$ es tan difícil son varios. Nadie tiene una buena razón para adivinar por dónde irá la respuesta irá. No hay ninguna razón para esperar una periodicidad relevante del orden $2^7$ . El cálculo directo de la secuencia espectral de Adams a través de la dimensión $126$ es simplemente difícil: los cálculos estallan. Existe la posibilidad de que la metodología de Barratt, Jones y Mahowald pueda extenderse para demostrar la existencia (¡si es que resulta la respuesta!), pero probablemente será mucho más difícil demostrar la inexistencia (si esa es la respuesta).
Se pueden encontrar más detalles sobre el colector 30 de Jones y construcciones análogas en mi Potencias extendidas de variedades y la secuencia espectral de Adams , Cont. Math. 271, 41--51. La idea básica que contiene data de 1979 más o menos (inmediatamente después de ver la construcción de Jones), pero no llegó a imprimirse hasta dentro de 20 años. También hay comentarios sobre el enfoque teórico de la homotopía del problema en la charla que di en Edimburgo en 2011 en el taller sobre la invariante de Kervaire.
El punto principal es que hay un pequeño conjunto de clases de homología en baja dimensión (dimensión 2 para la construcción de Jones) que uno quiere realizar como la clase fundamental de una variedad con haz tangente realizado por una representación de permutación de $\pi_1$ . Para obtener el colector Kervaire de 30 dimensiones de $S^7$ sólo se necesitan dos colectores y una representación adecuada en $S_4$ . ( $D_8$ bastará: sólo importa el subgrupo Sylow 2). Para pasar de $S^7$ a la variedad de Kervaire de 62 dimensiones requiere un 6-manifold con una representación de $\pi_1$ en $S_8$ . Por desgracia, no existe tal colector. En la dimensión 126, se necesitaría un colector 14, y presumiblemente tampoco existe. Así que hay que encontrar otro enfoque que relaje los datos de entrada necesarios.
