¿Son el hamiltoniano clásico y el hamiltoniano cuántico tipos de objetos diferentes?

Question

Contexto : No soy físico.

Me he encontrado con el hamiltoniano en la física clásica y en la física cuántica, y no puedo reconocer por qué tienen el mismo nombre. Parecen muy diferentes. Así que probablemente me estoy perdiendo algo.

Clásico . Mi comprensión del Hamiltoniano clásico es: es una función $H(p,q,t)$ de las coordenadas (generalizadas) del sistema, dejando que $q$ sea el vector "posición" generalizado, y $p$ sea el vector de momento generalizado. La evolución temporal del sistema se obtiene como

$$\dot q=\frac {\partial H} {\partial p}\quad\quad\quad \dot p=-\frac {\partial H} {\partial q}$$ Donde los puntos denotan las derivadas temporales.

Quantum . Mi entendimiento del Hamiltoniano cuántico, es que es un operador Hermitiano $H$ en el estado cuántico $|\Psi \rangle $ que se utiliza para calcular la derivada temporal (ecuación de Schrodinger generalizada) :

$$|\dot \Psi\rangle = \alpha H|\Psi \rangle$$

(Donde $\alpha=-\frac i {2\pi h}$ que no es importante por ahora).

¿Cómo se relacionan? Parecen objetos totalmente diferentes:

• Firma de tipo . El hamiltoniano clásico es una función desde el espacio de estado hasta $\mathbb R$ . El hamiltoniano cuántico es un operador de espacio de estados a espacio de estados. (ambos posiblemente dependientes del tiempo, en el caso clásico me refiero al espacio de estados, $(q,p)$ espacio, en el caso cuántico me refiero al espacio de estado cuántico).

• Derivados . En el caso clásico, tomamos la derivada del hamiltoniano. En el caso cuántico, no lo hacemos, sólo utilizamos el propio hamiltoniano, y lo usamos para operar en el espacio de estados.

• ¿Análogo de la ley de Newton? . En la física clásica, el hamiltoniano se basa en un principio variacional (el hamiltoniano se deriva de la minimización del funcional de acción). Las leyes "locales" del movimiento en la física clásica son las leyes de Newton: $\dot p = F(q,p)$ . Me parece que la ecuación de Schrodinger es el análogo cuántico de la ley de Newton (en la medida en que existe), no el análogo de las ecuaciones de Hamilton en la mecánica clásica : El "operador de fuerza" también es un operador de espacio de estados a espacio de estados. Utilizando una notación no estándar dejando que el estado clásico $s=(q,p)$ Para enfatizar la analogía con la ecuación de Schrodinger, las leyes de Newton pueden escribirse como $$\dot s = F s$$ Donde $F_q(q,p) = \frac 1 m p$ y $F_p(q,p)$ es la fuerza. Me sorprende que la ecuación de Schrodinger, que tiene la forma de una ley de movimiento local, contenga la energía del sistema (el hamiltoniano), mientras que la ley de movimiento clásica contiene fuerzas y no energía.

¿Me equivoco al pensar que la ecuación de Schrodinger es más análoga a las leyes de Newton que a las ecuaciones hamiltonianas clásicas? ¿Por qué tienen el mismo nombre, si parecen tipos de objetos muy diferentes?

Answer 1

La relación entre la mecánica clásica y la cuántica se expresa de la forma más clara en el proceso de Dirac cuantificación canónica . Esto consiste en promover la sustitución de todos los soportes de Poisson $$ \{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial B}{\partial q} \frac{\partial A}{\partial p} $$ por los conmutadores correspondientes $$ -\frac{i}{\hbar} [\hat{A}, \hat{B}] = -\frac{i}{\hbar} (\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}). $$ En, particular, un observable clásico $A$ evoluciona en función de $$ \dot{A} = \{A, H\} $$ y un observable cuántico $\hat{A}$ en el Imagen de Heisenberg evoluciona en función de $$ \dot{\hat{A}} = -\frac{i}{\hbar} [\hat{A}, \hat{H}] $$ (una formulación alternativa a la ecuación de Schrödinger).

No pretendo tener una buena intuición de lo que "significa" esta correspondencia, pero al menos puedo comentar tu punto sobre la firma de tipos. Como los observables de QM son hermitianos, están completamente caracterizados por sus valores y vectores propios. Así que podrías verlo como un mapeo que asigna a cada vector propio un valor, el valor propio. Representar esta función como un operador es agradable ya que permite aplicar la función a todas las partes de una superposición simultáneamente.

Para las matemáticas de cómo funciona la cuantificación canónica (y por qué la versión ingenua no funciona), probablemente deberías consultar cuantificación de las deformaciones o similares. Parece interesante pero no conozco ningún detalle. Podría aclarar tu pregunta sobre el origen de los derivados. (Avísame si lo descubres, yo también estoy desconcertado).

Answer 2

Hasta donde yo sé, el hamiltoniano clásico y el cuántico están relacionados debido a la ecuación de Hamilton-Jacobi. La ecuación de Hamilton Jacobi es una ecuación clásica de movimiento que utiliza el propio hamiltoniano, y dice $$\frac{\partial S}{\partial t}+H=0$$ y $S$ se denomina función principal de Hamilton, junto con la ecuación $p_j=\frac{\partial S}{\partial q_j}$ e incluso existe un análogo de la ecuación de Schödinger independiente del tiempo, insertando $S=-Et+W$ , donde $W$ se llama función característica de Hamilton, se obtiene $H=E$ . Y en la ecuación de Schrödinger de la forma, $$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla \cdot \nabla \psi +U\psi$$ si se inserta $\psi=\sqrt{\rho}e^{\frac{iS}{\hbar}}$ y sustitutos $\hbar \rightarrow 0$ se convierte en la siguiente forma de la ecuación de Hamilton-Jacobi: $$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{|\nabla S|^2}{2m}+U=0 $$ Otra razón por la que tienen el mismo nombre es por su relación con la energía. El hamiltoniano de QM es de la forma $$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\cdot\nabla+U$$ mientras que el Hamiltoniano CM es de la forma $$H=\frac{|\mathbf{p}|^2}{2m}+U$$

Además, cabe mencionar que se puede derivar el hamiltoniano de QM a partir del hamiltoniano de CM sustituyendo las variables dinámicas por operadores.

En resumen, su nombre se debe a la analogía entre ellos. Espero que esto ayude.