Encontrar toda la función completa $f$ tal que $\lim_{z\to \infty}\left|\frac{f(z)}{z}\right|=0$

Question

Si $f$ es una función entera tal que $\lim_{z\to \infty}\left|\frac{f(z)}{z}\right|=0$ entonces encuentra la función $f$ .

Sustitución de $z$ por $\frac{1}{z}$ obtenemos $$\lim_{z\to 0}|zf(1/z)|=0$$ Esto demuestra que $f(1/z)$ tiene una singularidad extraíble en $z=0$ Así que $f(z)$ tiene una singularidad extraíble en $z=\infty$ . Como $f$ está entero así que , $f$ debe ser constante .

¿Es correcto?

Answer 1

Sí, correcto. Aquí presento otro argumento que utiliza el teorema de Liouville : Sea $$ g(z):=\frac{f(z)-f(0)}{z} $$ Claramente $g$ también es entera y acotada y, por tanto, ¡constante! Dado que $$ \lim_{z \to \infty} g(z) = 0 $$ entonces $f(z)=f(0)$ .