Tangente(s) común(es) a dos parábolas sin cálculo

Question

Tenemos las parábolas: $y = 2x^{2} + 2x + 1$ y $y = 2x^{2} - 2x - 1$ .

Encontrar las tangentes comunes con el cálculo es tan sencillo como resolver un sistema de ecuaciones con las derivadas de ambas parábolas y $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ pero, ¿qué hay de la geometría analítica?

Answer 1

Una línea $y=kx+m$ es una tangente a la parábola $y=ax^2+bx+c$ si la ecuación cuadrática $$ kx+m=ax^2+bx+c $$ tiene exactamente una solución, lo que hace que el discriminante sea cero. En nuestro caso $$ kx+m=2x^2+2x+1\iff 2x^2+(2-k)x+1-m=0,\\ kx+m=2x^2-2x-1\iff 2x^2-(2+k)x-1-m=0 $$ debe tener cada uno una solución única $x$ es decir, los discriminantes son ceros para ambas ecuaciones $$ \begin{cases} (2-k)^2-8(1-m)&=&0,\\ (2+k)^2+8(1+m)&=&0. \end{cases} $$ Resuelve el sistema: $k=-2$ , $m=-1$ .

Answer 2

Este par de parábolas pretenden facilitar el problema. Completa el cuadrado para obtener $$2y = 4x^2 + 4x + 2 = (2x+1)^2 + 1 = 4(x + \frac12)^2 - 1 + 2$$ para la primera parábola y $$2y = 4x^2 - 4x -2 = (2x-1)^2 - 3 = 4(x - \frac12)^2 - 1 - 2$$ para el segundo. El vértice de la primera está en $\,(-\frac12,\frac12)\,$ y el segundo en $\,(\frac12,-\frac32).\,$

La línea entre ellos tiene pendiente $\,-2,\,$ que es la pendiente de la recta tangente común. Las parábolas se cruzan en la diferencia $\, 4x + 2 = 0 \,$ que es $\, x = -\frac12. \,$ Ahora la línea con pendiente $\, -2 \,$ que pasa por la intersección es $\, y = -2x + \frac12.\,$ Esa línea interseca la segunda parábola en las soluciones a $\, 2x^2 - \frac32 = 0 \,$ pero la media de las dos soluciones es $\, x = 0. \,$ El punto de la segunda parábola con este $\,x\,$ valor es $\, (0,-1) \,$ y es el punto de tangencia de la parábola con la recta $\, y = -2x - 1. \,$

Para comprobarlo, encontramos que la línea $\, y = -2x + \frac12\,$ interseca la primera parábola en las soluciones de $\, 2x^2 + 4x + \frac12 = 0. \,$ y la media de las dos soluciones es $\, x = -1.\,$ El punto de la primera parábola con este $\,x\,$ valor es $\, (-1,1) \,$ que es el punto de tangencia con la línea $\, y = -2x - 1. \,$

Para resumir, piense en el caso especial de $\, y = (x-1)^2 \,$ y $\, y = (x+1)^2. \,$ La línea $\, y = 1 \,$ pasa por su punto de intersección $\,(0,1)\,$ y también otro punto en cada parábola. La línea $\, y = 0 \,$ es la tangente común. La geometría de este caso especial es afinamente equivalente al caso general de dos parábolas cualesquiera que sean traslativas entre sí.

Answer 3

Consulte esta pregunta aquí para la ecuación de una tangente a una parábola.

Primera parábola: $$y-\tfrac 12=2(x-\tfrac 12)^2$$ Tangente en $(h, k= 2h^2+2h+1)$ : $$\tfrac 12 ((y-\tfrac 12)+(k-\tfrac 12))=2(x+\tfrac12)(h+\tfrac12)\\ y=2(1+2h)x+1-2h^2\qquad (1)$$

Segunda parábola: $$y+\tfrac 32=2(x-\tfrac 12)^2$$ Tangente en $(m, n=2m^2-2m-1)$ : $$\tfrac 12 ((y+\tfrac 32)+(m+\tfrac 32))=2(x-\tfrac12)(m-\tfrac12)\\y=2(2m-1)x-1-2m^2\qquad (2)$$ Igualar los coeficientes en $(1), (2)$ da $(m,n)=(0,-1)$ y $(h,k)=(-1,1)$ .

Por lo tanto, desde cualquiera de los dos $(1)$ o $(2)$ La ecuación de la tangente común es $$\color{red}{y=-2x-1}$$

Answer 4

La tangente común es paralela a la recta que une los dos vértices, por lo que su ecuación es de la forma $y=-2x+k$ .

Para encontrar $k$ podemos utilizar el hecho de que esta tangente sólo tiene un punto en común con cualquiera de las parábolas (la segunda, por ejemplo). Es decir, el sistema $$ \cases{y=-2x+k\\ y=2x^2-2x-1 } $$ debe tener una sola solución.

Eliminación de $y$ encontramos $2x^2-1=k$ que tiene una única solución sólo si $k=-1$ .