Continuidad entre dos espacios métricos

Question

Cómo demostrar (sin secuencias) que $id: (\mathbb{R},|.|)\to (\mathbb{R},d)$ es continua?

donde $d(x,y)=|\exp(x)-\exp(y)|$

podemos decir: id es continuo si $$\forall x_0 \in \Bbb{R}, \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0, \forall x\in \mathbb{R}; |x-x_0|<\delta\Rightarrow |\exp(x)-\exp(x_0)|<\varepsilon$$ pero, ¿cómo obtenerlo?

Answer 1

La condición en cuestión no es otra que la continuidad de la función exponencial (en la métrica estándar). Por lo tanto, intenta recrear la $\varepsilon$ - $\delta$ prueba y ya está.

Answer 2

Básicamente has demostrado que la identidad es continua si $\exp(x)$ es continua y estoy bastante seguro de que se permite utilizar esto como un hecho estándar en topología (o teoría del espacio métrico, análisis real, o lo que sea este curso) que $\exp(x)$ es una función diferenciable y por tanto continua de $\Bbb R$ a $(0,\infty)$ . Los estados problemáticos también asumen que usted sabe sobre $\exp(x)$ (y sus propiedades básicas).