¿Son los números reales realmente incontables?

Question

Considere la siguiente afirmación

Todo número real debe tener una definición para poder ser discutido.

Lo que esta afirmación no especifica es lo poco específica que es esa definición. Algunos ejemplos de definiciones son:

"el número más pequeño que requiere un mínimo de 100 sílabas para expresarse en inglés" (lo cual es realmente una paradoja)

"el número natural después del uno" (2)

"el valor límite de la secuencia $(1 + 1/n)^n$ como $n$ se desplaza hacia el infinito, mientras que un límite se define como ... (definición épsilon-delta) ... mientras que la adición se define como ... (llegando hasta los axiomas básicos de la teoría de conjuntos) " (la respuesta a esto es, por supuesto, e)

Ahora bien, hay que tener en cuenta lo siguiente

El conjunto de todos los enunciados que utilizan todos los caracteres del inglés en lengua inglesa es un conjunto contable. Eso significa que toda expresión matemática posible puede reducirse eventualmente a una expresión en inglés (que podría ser absurdamente larga si se quiere mantener la formalidad) y, por lo tanto, toda expresión matemática, incluida la de todo número real posible que pueda discutirse, está dentro de este conjunto contable.

Los únicos números que no están contenidos en este conjunto contable son...

Es una mala pregunta, ya que el acto de responderla es una violación de la suposición inicial de que los números existen fuera de las expresiones de nuestro lenguaje.

Lo que trae a colación un punto interesante. Si se incluyen aquí TODOS los números REALES de los que se puede hablar, entonces ¿qué es exactamente lo que no se incluye?

En otras palabras, ¿por qué se considera que los números reales son incontables?

Answer 1

"Los números reales son incontables" significa que, en el universo teórico de conjuntos donde hemos definido "el conjunto de los números naturales" y "el conjunto de los números reales", no existe una función que sea una biyección entre estos dos conjuntos.

Significa nada más y nada menos que eso.

Hay todo tipo de trampas, errores y malentendidos realmente sutiles en los que uno puede incurrir al tratar de atribuir a esta afirmación más significado del que realmente tiene.

Puede encontrar La paradoja de Skolem un tema interesante para leer, dado que implica una forma rigurosa y precisa de ver los números reales como contables en un sentido diferente de lo que se entiende por "los números reales son incontables", y las consiguientes dificultades que tiene la gente para tratar de desentrañar lo que está pasando.

Answer 2

Todo número real debe tener una definición para poder ser discutido.

Es cierto.

Pero no hay que confundir la discusión del conjunto de todos los números reales con la discusión de los números reales individuales. Puedo razonar correctamente sobre el conjunto de jefes de estado de los países sin saber siquiera qué países existen. Del mismo modo, puedo razonar sobre el conjunto de todos los números reales sin ser capaz de nombrar cada uno de ellos.

(Pero dicho esto, si te esfuerzas lo suficiente puedes convertir tu argumento en un teorema de buena fe, el hacia abajo el teorema de Löwenheim-Skolem . Pero no dice exactamente lo que dices).

Answer 3

OP ha redescubierto números computables . De hecho, sólo hay un número contable de números que pueden ser calculados por una máquina de Turing que termina. El Tesis de Church-Turing extiende esto de las máquinas de Turing a todos los números algorítmicamente computables. Por lo tanto, casi todos los números reales son no algorítmicamente computable. Una minoría de matemáticos llamada constructivistas rechazar la existencia de números no computables.

Answer 4

Lo que dices se reduce básicamente a la afirmación de que hay números reales que no tienen una descripción finita, lo cual tiene mucho sentido dado que se describen cadenas infinitas de dígitos. No suena tan sorprendente cuando lo pones de esta manera.

Answer 5

Casi todos los números reales son indefinibles (es decir, no se puede escribir una fórmula para ellos). El hecho de que haya "tantos" números reales depende de propiedades como la del límite superior mínimo. El responsable de esto, en última instancia, es el hecho de que la lógica de fondo incluye la ley del medio excluido, acompañada de la interpretación clásica del cuantificador de existencia. Dicho esto, en la matemática constructiva existe un análogo del argumento de diagonalización de Cantor.

Más detalladamente, las distintas caracterizaciones de los reales van a ser equivalentes sólo en el contexto de la lógica clásica. En la matemática constructiva, la propiedad del mínimo límite superior falla; véase, por ejemplo, el libro de Bishop, página 4. Cuando la lógica clásica es la lógica de fondo, lo que es responsable de la incontabilidad de los reales es la "presencia" de números reales indefinibles. El OP estaba obviamente desconcertado por esto: ¿cómo puede existir un número si no se puede especificar en absoluto?

De hecho, esos "números" no "existen" en un entorno constructivo. Desde el punto de vista constructivo, su dudosa "existencia" depende totalmente de una aplicación desenfrenada de la ley del medio excluido, rechazada por los constructivistas (de nuevo con la salvedad de que el argumento de la diagonalización de Cantor sigue teniendo sentido también en un entorno constructivo; véase el libro de Bishop).