"Versión eficiente" del teorema de Cayley en la teoría de grupos

Question

Estoy considerando sólo grupos finitos. El teorema de Cayley dice que un grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_{|G|}$ . Creo que es interesante pedir valores más pequeños de $n$ para lo cual $G$ es un subgrupo de $S_n$ . Obviamente, no siempre es posible hacer algo mejor que el teorema de Cayley. Pero a veces es posible (por ejemplo, $\mathbb{Z}_6$ como un subgrupo de $S_5$ ).

Así que estoy preguntando:

1. Dado un grupo finito $G$ ¿existe una forma algorítmica de encontrar o aproximar el mínimo $n$ para lo cual $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ ?
2. Si la respuesta a $(1)$ no se conoce, ¿se conoce para clases específicas de grupos?
3. En particular, para grupos abelianos finitos, ¿es cierto que para un primo $p$ El mínimo $n$ para $\mathbb{Z}_{p^{t_1}} \times \mathbb{Z}_{p^{t_2}}$ est $p^{t_1}+p^{t_2}$ (Puedo demostrar que es cierto para diferentes primos $p_1$ y $p_2$ pero tienen problemas cuando es el mismo primo en ambos factores).

Gracias.

Answer 1

La siguiente pregunta de MathOverflow debería responder a tus preguntas y más: ¿La representación de permutación más pequeña de un grupo finito?

La respuesta a la pregunta 3) es sí, y más generalmente si $G$ es un grupo abeliano finito tal que

$$G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{a_1}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_t^{a_t}}$$

donde $p_i$ son primos y $a_i \geq 1$ entonces el mínimo $n$ est $p_1^{a_1} + \cdots + p_t^{a_t}$ . Se puede encontrar una prueba en el siguiente documento que Jack Schmidt menciona en su respuesta de MO.

Johnson, D. L. "Representaciones de permutaciones mínimas de grupos finitos". Amer. J. Math. 93 (1971), 857-866. MR 316540 DOI: 10.2307/2373739 .