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"Versión eficiente" del teorema de Cayley en la teoría de grupos

Estoy considerando sólo grupos finitos. El teorema de Cayley dice que un grupo G es isomorfo a un subgrupo de S|G| . Creo que es interesante pedir valores más pequeños de n para lo cual G es un subgrupo de Sn . Obviamente, no siempre es posible hacer algo mejor que el teorema de Cayley. Pero a veces es posible (por ejemplo, Z6 como un subgrupo de S5 ).

Así que estoy preguntando:

  1. Dado un grupo finito G ¿existe una forma algorítmica de encontrar o aproximar el mínimo n para lo cual G es isomorfo a un subgrupo de Sn ?
  2. Si la respuesta a (1) no se conoce, ¿se conoce para clases específicas de grupos?
  3. En particular, para grupos abelianos finitos, ¿es cierto que para un primo p El mínimo n para Zpt1×Zpt2 est pt1+pt2 (Puedo demostrar que es cierto para diferentes primos p1 y p2 pero tienen problemas cuando es el mismo primo en ambos factores).

Gracias.

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FuzzyQ Puntos 200

La siguiente pregunta de MathOverflow debería responder a tus preguntas y más: ¿La representación de permutación más pequeña de un grupo finito?

La respuesta a la pregunta 3) es sí, y más generalmente si G es un grupo abeliano finito tal que

GZpa11××Zpatt

donde pi son primos y ai1 entonces el mínimo n est pa11++patt . Se puede encontrar una prueba en el siguiente documento que Jack Schmidt menciona en su respuesta de MO.

Johnson, D. L. "Representaciones de permutaciones mínimas de grupos finitos". Amer. J. Math. 93 (1971), 857-866. MR 316540 DOI: 10.2307/2373739 .

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