Demuestre que si (X, $\mathcal{A}$ , $\mu$ ) es un espacio de medidas, $f$ es medible $/iff$ $f^+$ y $f^-$ son medibles

Question

Demuestre que si (X, $\mathcal{A}$ , $\mu$ ) es un espacio de medidas, $f$ es medible $\iff$ $f^+$ y $f^-$ son medibles $\mathcal{A}$

Donde

$f^-(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } f(x) > 0 \\ -f(x) & \mbox{if } f(x) \leq 0 \end{array} \right.$

$f^+(x) = \left\{ \begin{array}{ll} f(x) & \mbox{if } f(x) \geq 0 \\ 0& \mbox{if } f(x) < 0 \end{array} \right.$

Hasta ahora he demostrado que

$f^+(x) - f^-(x) = \left\{ \begin{array}{ll} f(x) & \mbox{if } x \geq 0 \\ f(x) & \mbox{if } x < 0 \end{array} \right.$

así que $f^+(x) - f^-(x)= f(x)$

pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí, cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Supongamos que $f^+$ y $f^-$ son medibles, y dejemos que $U$ sea un conjunto abierto de $\mathbb R$ . Denote por $U^+=U\cap[0,+\infty)$ y $U^-=U\cap(-\infty,0)$ . Entonces, $$ f^{-1}(U)=f^{-1}\left(U^+\cup U^-\right)=\underbrace{f^{-1}(U^+)}_{=(f^+)^{-1}(U^+)\in\mathcal A}\cup\underbrace{f^{-1}(U^-)}_{=(f^-)^{-1}(-U^-)\in\mathcal A}\in\mathcal A. $$ A la inversa, supongamos que $f$ es medible. Demostremos, por ejemplo, que $f^+$ es medible (se procede de forma similar para $f^-$ ). Sea $U$ ser un conjunto abierto. Si $0\notin U$ entonces $$ (f^+)^{-1}(U)=f^{-1}(U\cap(0,+\infty))\in\mathcal{A}. $$ Si $0\in U$ entonces $$ (f^+)^{-1}(U)=(f^+)^{-1}(\{0\})\cup f^{-1}(U\cap(0,+\infty))=\underbrace{f^{-1}((-\infty,0))}_{\in\mathcal A}\cup\underbrace{f^{-1}(U\cap(0,+\infty))}_{\in\mathcal A}\in\mathcal A. $$