¿Cómo puedo comprobar la convergencia de esta serie? $1+\frac1{2^2}+\frac{2^2}{3^3}+\frac{3^3}{4^4}+\dots$ ?

Question

Una serie infinita de términos positivos se da : $$1+\frac{1}{2^2}+\frac{2^2}{3^3}+\frac{3^3}{4^4}+....$$

y tengo que probar su convergencia.

Estoy teniendo problemas para descubrir que es $n^{th}$ plazo.
Inicialmente pensé en algo como $$U_n=\frac{(n-1)^{(n-1)}}{n^n} \text{ for n>1}$$ Pero mi libro sugería $$U_n=\frac{n^n}{(n+1)\times n +1}$$

Lo curioso es que fracasa estrepitosamente en conseguir la serie requerida.

¿Puede alguien sugerir una mejor $n^{th}$ ¿a qué plazo? Y cómo proceder a partir de él.

Gracias.

Answer 1

Usted tiene $$ U_n=\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}=\frac1n\cdot\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}. $$ Un límite conocido a partir de la definición de la constante de Napier conduce entonces a un límite inferior que demuestra que la serie diverge.