He oído hablar de matemáticos que defienden una concepción estrictamente finita de las matemáticas, sin espacio para el infinito. Me pregunto, ¿cómo es posible que estas personas hagan esto? ¿Existen conceptos que utilizan para sustituir los resultados que tienen que ver con el infinito, o estos resultados no se tienen en cuenta? ¿Existe un nombre para este tipo de matemáticas? Me gustaría leer y aprender más sobre esto, especialmente los argumentos sobre por qué el infinito es absurdo o incluso superfluo.
Respuestas
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Hoy en día son pocos los que sostienen que el concepto de infinito es absurdo per se, pero todavía hay quienes sostienen que es epistémicamente intratable, o innecesario, o que los objetos infinitos simplemente no existen.
Los sistemas finíticos suelen ser muy débiles. Steve Simpson reclamaciones que la aritmética recursiva primitiva (ARP) es finitista, ya que sólo hace referencia a infinitos potenciales -es decir, a la iteración indefinida- y no a infinitos completos, como el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ . Algunos finistas aceptan la existencia de conjuntos contables infinitos: $\mathbb{N}$ es finitariamente aceptable pero el conjunto de números reales $\mathbb{R}$ no lo es.
Se podría pensar que éste es el final del camino para las matemáticas finitistas, pero los filósofos han ideado varias evasivas inteligentes para evitar esta trampa. Shaughan Lavine, por ejemplo, ha desarrollado una versión finitaria de ZFC que no es matemáticamente revisable pero que, sin embargo, permite mantener que sólo hay un número finito de objetos matemáticos.
Hay una serie de consideraciones que motivan a la gente a adoptar posiciones finitistas. La primera es el deseo de repudiar los objetos abstractos. Si no hay infinitos verdaderos, podemos ser realistas en cuanto a las matemáticas sin tener que aceptar la existencia de un cielo platónico o dar cuenta de la existencia de objetos matemáticos infinitos. Las matemáticas pueden entenderse puramente en términos de las propiedades combinatorias de los objetos físicos.
Otra posibilidad es pensar que los objetos matemáticos son meras ideas en nuestra mente: no existen independientemente de su construcción por nosotros. Como somos finitos, no podemos construir todo de los números naturales, aunque en principio podemos seguir para siempre. Debido a esto, hay una fuerte tendencia entre constructivistas para rechazar el infinito completado.
La epistemología proporciona una razón diferente. Sólo disponemos de un poder de cálculo finito para obtener verdades matemáticas, por lo que no podemos captar ningún objeto infinito (si es que existe) en su totalidad. Por lo tanto, el conocimiento matemático debe alcanzarse por medios finitos.
Algunos conceptos, como el de los números naturales y las funciones recursivas sobre ellos, parecen básicos: son ideas primitivas que no admiten mayor justificación. Las matemáticas superiores, sin embargo, son increíblemente útiles, aunque no admitan una justificación tan directa. Por tanto, podríamos querer tratar todas las matemáticas más allá de la aritmética como un mero juego con símbolos que sólo tiene valor instrumental. Podemos ver un enfoque de este tipo en El programa de Hilbert con su restricción de que todas las pruebas deben ser finitas.
rck
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Ya que tienes algo de experiencia en informática, una buena y rápida introducción a algunas de las ideas y objeciones del (ultra)finitismo se puede encontrar en la charla de Ed Nelson "Señales de advertencia de un posible colapso de las matemáticas contemporáneas" .
Tomas
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Sí, en la teoría de conjuntos había un axioma de conjunto infinito que podría haberse omitido... pero ¿por qué te sorprende tanto esto? No utilizamos el infinito muy a menudo y yo diría que, de hecho, de alguna manera mejora nuestra imaginación, pero realmente no lo necesitamos. Solemos utilizar $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ ¡números y ninguno de ellos contiene el infinito! Se podría argumentar que estos conjuntos en sí mismos son infinitos, pero ¿necesitamos tratarlos como conjuntos para poder trabajar con estos números? ¿Los límites? También podemos definirlos sin infinito. Así que para la mayoría de las matemáticas aplicadas y la estadística creo que el infinito no sería realmente necesario, es sólo un "valor añadido" :-)
