Uso del teorema de aproximación de Weistrass para definir la convergencia de las series de fourier.

Question

Teorema de aproximación de Weistrass: Sea f continua en [- $\pi$ , $\pi$ ] con $f(-\pi)=f(\pi)$ . Entonces, para cada $\epsilon>0$ existe un polinomio trigonométrico T tal que $|f(x)-T(x)|<\epsilon$ para todo x un elemento de $[-\pi,\pi]$ .

También nos dieron un teorema que dice que si $f(x)$ es integrable al cuadrado, entonces $\int[f(x)-T(x)]^2dx$ se minimiza cuando $T(x)$ es igual a la serie de fourier de las funciones.

Ahora bien, sabemos que esto implica la convergencia de la serie de fourier de las funciones a la propia función en la $L^2$ sencia (norma de Lebesgue), pero lo que no entiendo es por qué esto no implica la convergencia uniforme de las series de fourier de las funciones a la propia función. Soy consciente de que se necesitan condiciones más fuertes para hacer esta afirmación, pero no veo cómo el teorema de Weistrass no muestra la convergencia uniforme, y por lo tanto por qué no podemos utilizar este teorema para decir que la convergencia uniforme se mantiene.

Cualquier ayuda será muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

No entiendo completamente su pregunta, permítame exponer algunos hechos que podrían estar relacionados.

En primer lugar, el teorema de aproximación de Weistrass establece que si $f$ es continua en $[-\pi, \pi]$ y $f(-\pi) = f(\pi)$ , entonces para todos los $\epsilon>0$ , hay $T$ para que $|f(x) -T(x) |<\epsilon$ . Así,

• $T$ depende de $\epsilon$ ,
• $T$ no es único dado un $\epsilon$ .
• $T$ en general no es la serie de Fourier $S_n(f)$ para cualquier $n$ .

Answer 2

El teorema de Weierstrass que citas requiere $ f $ continua y con valores iguales en los extremos No se requiere que ninguna condición sea integrable al cuadrado.