Aproximación mediante polinomios de Taylor: ¿por qué?

Question

¿Podría alguien decirme por qué querría aproximar una función $f$ utilizando su expansión de Taylor (¿es lo mismo que decir aproximación por polinomios de Taylor?), si tengo la fórmula exacta de la función $f$ ?

¿Por qué aproximar una función si tengo su fórmula? ¿Qué hay de malo en tener la fórmula de $f$ que alguien quiera aproximarse a ella?

Answer 1

Hay muchas situaciones en las que se desean aproximaciones lineales o cuadráticas de alguna función complicada en un punto (es decir, una expansión de Taylor de primer o segundo grado).

• Las funciones lineales o cuadráticas son fáciles de trabajar.
• Las aproximaciones lineales o cuadráticas pueden ser todo lo que se necesita.

Estas situaciones se dan en todas partes y en contextos muy diferentes:

1. Optimización numérica: muchos algoritmos repetidamente (i) construir una aproximación cuadrática de la función en un punto y (ii) dar un paso hacia el mínimo basado en ese modelo cuadrático. R
2. Aproximaciones lineales o polinómicas de bajo orden de la dinámica no lineal. Esto está muy extendido en la modelización económica e imagino que también en otros tipos de modelización.
3. Comportamiento asintótico. Si se amplía lo suficiente, las funciones suaves parecerán lineales. Se puede modelar el comportamiento en una vecindad local con una aproximación lineal. (Esta es la idea básica de la Método Delta en las estadísticas).
4. Aproximar varias constantes, etc... que no tienen soluciones analíticas utilizando la expansión de taylor.

La lista sigue y sigue.

Answer 2

Razón 1: Supongamos que necesita programar un ordenador para calcular los valores de $\log x$ . (Es decir, usted es la primera persona en programar $\log$ .) Es posible que quieras utilizar una expansión de Taylor.

Razón 2: Hay que calcular $\lim_{t \to 0} \frac{\sin^2 t}{e^t - 1 - t}$ .

Razón 3: Estás estudiando una curva paramétrica $(f(t),g(t))$ cerca de $t = a$ . Las propiedades geométricas de la curva (tangentes, semitangentes, cúspides, etc.) vendrán determinadas por las expansiones de Taylor de $f$ y $g$ en $a$ .

Razón 4: Se quiere un valor aproximado de la integral de la función sobre un intervalo, y no se puede encontrar una antiderivada explícita.

Answer 3

¿Cómo se calcula $\sin(x)$ para los pequeños $x$ ? ¿Y cómo pequeño ¿que debería ser? Esto se puede hacer fácilmente utilizando la aproximación de Taylor. Sabemos que $\sin(x)=x+O(x^3)$ , por lo que sólo puede tomar $\sin(x) = x$ en caso de que te parezca bien el error de tercer orden. Estimaciones más prácticas sobre el resto son conocidos para poder calcular la función con límites conocidos para el error .

¿Cómo se calcula el límite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}$ ? O, mejor, cómo se puede predecir el comportamiento de la función bajo límite como $x$ va al infinito? Utiliza la aproximación de Taylor. $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=x \left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right) \approx x \left(\left(1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+\frac{1}{16x^4}\right) - \left(1-\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}-\frac{1}{16x^4}\right)\right)=x\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{8x^4}\right)=1+\frac{1}{8x^3}$$

Así, el límite es claramente 1, y la función se comporta como $1+\frac{1}{8x^3}$ . Mucha información en un solo teorema.

La aproximación de Taylor le da la función comportamiento local en términos de funciones que entendemos perfectamente (es decir, polinomios), lo cual es una técnica extremadamente poderosa en el análisis.