Este problema es como se titula.
El libro de texto afirma que el orden del grupo de Weyl de tipo $E_8$ , $F_4$ son $2^{14}3^55^27$ y 1152 respectivamente, pero me pregunto cómo son estos grupos, es decir, cómo se pueden descomponer en grupos más simples, o qué tipo de subgrupo o ideales tienen.
Gracias por cualquier atención y ayuda~
Todo grupo de Weyl es un Grupo Coxeter con el diagrama de Coxeter dado más o menos por el diagrama de Dynkin del álgebra de Lie correspondiente (hasta algunas alteraciones menores). Una buena referencia es la obra de Humphreys Grupos de reflexión y grupos de Coxeter.
Según GAP, $F_4$ es
(((((C2 x D8) : C2) : C3) : C3) : C2) : C2Aquí C2 y así sucesivamente denotan grupos cíclicos, D8 denota el grupo diédrico de orden $8$ , x denota el producto directo, y : denota el producto semidirecto. No es la descripción más esclarecedora del grupo, pero muestra que está formado por piezas bastante sencillas.
Deberías descargarte GAP y jugar con él un poco para explorar los subgrupos y lo que no en los grupos. Es divertido.
El grupo de Weyl de tipo $E_8$ es el grupo $O(8,\mathbb{F}_2)^+$ de orden $696729600$ . Es una extensión del tallo por el grupo cíclico $C_2$ de una extensión de $C_2$ por un grupo $G$ , es decir, donde $G$ es el único grupo simple de orden $174182400$ , conocido como $PSΩ_8^+(\mathbb{F}_2)$ . Para un debate, véase también esta pregunta del modus operandi (hay una discusión sobre la notación $O(8,\mathbb{F}_2)^+$ ).
El grupo de Weyl de $F_4$ es un grupo soluble de orden $1152$ , Para obtener referencias detalladas, véase aquí . Una de las presentaciones de la misma es $$ < x, y \mid x^2 = y^6 = (xy)^6 = (xy^2)^4 = (xyxyxy^{-2})^2 = 1 >. $$
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