Igualdad en una estimación integral

Question

Dejemos que $u,v\in W^{1,p}(\Omega)$ con $1<p<\infty$ y $\Omega$ sea un dominio suave acotado en $\mathbb{R}^N$ . Supongamos que tenemos $$\int_{\Omega}|\nabla u|^{p-2}\nabla u\nabla v\,dx=\left(\int_{\Omega}|\nabla u|^p\,dx\right)^\frac{p-1}{p}\left(\int_{\Omega}|\nabla v|^p\,dx\right)^\frac{1}{p} $$ Supongamos que la igualdad $$ \int_{\Omega}|\nabla u|^p\,dx=\int_{\Omega}|\nabla v|^p\,dx $$ sostiene. Entonces podemos decir que $u=v$ en $\Omega$ ?

Lo he intentado de la siguiente manera: Dado que la primera igualdad dada, que es la igualdad en la desigualdad de Holder se mantiene, y por la segunda igualdad dada se mantiene, tenemos $|\nabla u|=|\nabla v|$ en $\Omega$ . Entonces no puedo continuar.

¿Puede alguien ayudar a dar un argumento?

Answer 1

Estos supuestos implican $\nabla u=\nabla v$ . La afirmación es trivialmente cierta si uno de $\nabla u$ o $\nabla v$ es idéntico a cero.

Utilizando los supuestos y la desigualdad de Hoelder, obtenemos $$ 0 \le\int_\Omega |\nabla u|^{p-2} \nabla (v-u) \cdot \nabla (v-u) \le \|\nabla u\|_{L^p}^p -2 \|\nabla u\|_{L^p}^{p-1}\|\nabla v\|_{L^p}^1 +\|\nabla u\|_{L^p}^{p-2}\|\nabla v\|_{L^p}^2\\ = \|\nabla u\|_{L^p}^{p-2}(\|\nabla u\|_{L^p}-\|\nabla v\|_{L^p})^2=0. $$ Esto implica $\nabla u = \nabla v$ para casi todos los $x$ para lo cual $\nabla u(x)\ne0$ .

Como tenemos la igualdad en la desigualdad de Hoelders, las funciones $|\nabla u|^p$ y $|\nabla v|^p$ son linealmente independientes. Esto implica $\nabla u(x)=0$ si y sólo si $\nabla v(x)=0$ .

Y $\nabla u = \nabla v$ es lo siguiente. Si $u,w\in W^{1,p}_0$ esto implica $u=v$ .

En general, $u=v$ hace no se siguen, ya que los supuestos se cumplen trivialmente si fijamos $v:=u+1$ .

Answer 2

Te faltó un paso. En realidad, primero estás usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz puntualmente: $$ |\nabla u|^{p-2} \langle \nabla u, \nabla v \rangle \le |\nabla u|^{p-2} \cdot |\nabla u| \cdot |\nabla v|, $$ y luego la desigualdad de Holder: $$ \int_{\Omega} |\nabla u|^{p-2} \langle \nabla u, \nabla v \rangle \le \int_{\Omega} |\nabla u|^{p-1} \cdot |\nabla v| \le \left(\int_{\Omega}|\nabla u|^p \right)^\frac{p-1}{p}\left(\int_{\Omega}|\nabla v|^p \right)^\frac{1}{p}. $$ Si hay una igualdad, puedes usar condiciones de igualdad para ambos:

• La igualdad en Cauchy-Schwarz (para cada punto por separado) dice que para a.e. $x \in \Omega$ los vectores $\nabla u(x)$ y $\nabla v(x)$ son proporcionales (con una relación no negativa).
• La igualdad en Holder le indica que las funciones $|\nabla u|$ y $|\nabla v|$ son proporcionales. Combinado con la observación anterior, esto implica que la relación de proporcionalidad de $\nabla u(x), \nabla v(x)$ es independiente de $x$ por lo que, de hecho, las funciones $\nabla u$ y $\nabla v$ son proporcionales.
• Si además $\int_{\Omega}|\nabla u|^p=\int_{\Omega}|\nabla v|^p$ entonces esta relación de proporcionalidad tiene que ser igual a $1$ .

En consecuencia, $\nabla u = \nabla v$ a.e. En otras palabras, $u$ y $v$ difieren localmente en una constante. Sin alguna normalización (por ejemplo $u,v$ tienen traza cero en el límite), no se puede decir nada más.