Estimación del producto de las funciones Gamma

Question

Considere la siguiente expresión

$$\left|\frac{\Gamma(q+1/2 + ix)\Gamma(q+1/2 - ix) }{\Gamma(1/2-q)^2} \right|$$ con $x\in\mathbb{R}$ y $q>\frac{1}{2}$ .

Me gustaría saber cómo se comporta esta expresión para $x\rightarrow \infty$ respectivamente para $q\rightarrow \infty$ . Para ello me pregunto si es posible estimar la expresión mediante funciones elementales. Por ejemplo para $q=0$ tendríamos un límite superior por $\frac{1}{\pi\cosh(\pi x)}$ . ¿Existe una estimación similar cuando $q>\frac{1}{2}$ ?

Answer 1

Expresiones asintóticas para $\Gamma$ se propusieron en este rosca : \begin{align} |\Gamma(x+iy)|&\sim \sqrt{2\pi}\,\exp\left[\frac{\left(x-\frac 12\right)\;\ln\bigl(x^2+y^2\bigr)}2-y\;\arg(x+iy)-x+\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}\;\Re\;{z^{1-2m}}}{2m\,(2m-1)}\right]\\ (1)\qquad&\sim \sqrt{2\pi}\,\bigl(x^2+y^2\bigr)^{\frac x2-\frac 14}\exp\left[-x-y\,\arg(x+iy)+\frac 1{12}\frac x{x^2+y^2}-\frac 1{360}\frac{x^3-3xy^2}{(x^2+y^2)^3}+\cdots\right]\\ \end{align}

(véase también el final de este artículo más detallado exposición )

Sustitución de su $\,q+1/2\,$ por $x$ y su $x$ por $y$ quieres la asintótica de : $$\tag{2}\left|\frac{\Gamma(x + iy)}{\Gamma(1-x)}\right|^2=\left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right|^2\left|\Gamma(x)\,\Gamma(x + iy)\right|^2$$ donde utilicé el fórmula de reflexión $(6.1.17)$ de A&S : $\;\displaystyle\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}\,$ .

Cuadrando $(1)$ dos veces (ajustando $y=0\,$ para $\Gamma(x)$ o utilizando La fórmula de Stirling ) debería dar las expresiones asintóticas deseadas.

Representación visual del logaritmo de su función :