Divisibilidad de polinomios sobre campo finito

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo, y que F := $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y que $f(t) \in F[t]$ sea un polinomio irreducible de grado $d$ . Tengo que demostrar que $f(t)$ divide $t^{p^d}-t$ . La pista en este examen práctico es considerar el anillo de cociente $F[t]/f(t)$ . ¿Puede alguien darme una idea de cómo empezar a pensar en esto, o cómo puedo imaginar el anillo de cociente?

Answer 1

Una pista: $F[t]/f(t)$ es un campo de característica $p$ y de dimensión $d$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/p$ por lo que sus elementos verifican $t^{p^d}-t=0$ . Busca tu referencia favorita sobre campos finitos. Deduce que la imagen de $t^{p^d}-t$ en $\mathbb{F}[t]/p(t)$ es cero.

Answer 2

Al no conocer sus antecedentes, me referiré únicamente a las propiedades básicas de los campos y las extensiones de campo. En primer lugar, se deduce inmediatamente del definiciones que para cualquier campo $F$ , si $f\in F[t]$ es irreducible de grado $d$ el cociente $E=F[t]/(f)$ es una extensión de campo de grado $d$ . Si $F=\mathbf Z/p$ entonces $E$ es un $\mathbf Z/p$ -espacio vectorial de dimensión $d$ por lo que es finito de cardinal $p^d$ . A continuación, concluimos con el grupo multiplicativo $E^*$ (pista: utilizar el teorema de Lagrange) .