Encontrar el límite $ \lim_{{x\rightarrow0},y\rightarrow0}\frac{\cos xy-2^{x{y}^2}}{x^2y^2}$

Question

Calcular o demostrar que un límite $$L: \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\cos xy-2^{x{y}^2}}{x^2y^2}$$ no existe. Este es mi enfoque:

Primero dividí el límite en dos límites, el primero es

$\lim_{{x\rightarrow0},y\rightarrow0}\frac{\cos xy}{x^2y^2}$ (Llamemos a este límite $L_1$ )

Y la segunda es $\lim_{{x\rightarrow0},y\rightarrow0}\frac{2^{x{y}^2}}{x^2y^2}$ . (Y llama a esto $L_2$ )

Al resolver $L_1$ He sustituido $xy=t, t\rightarrow 0$ y me sale

$\lim_{{t\rightarrow0}}\frac{\cos t}{t^2}$ Como esto es $\frac{constant}{0}$ este es un extremo indefinido por lo que el límite no existe, lo que indica que también límite $L$ no existe?

¿Está bien, si no, qué otro enfoque se puede hacer?

Answer 1

Considere los límites $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\cos(xy)-1}{x^2y^2}\tag1$$ y $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2^{xy^2}-1}{x^2y^2}.\tag2$$ Desde $\lim_{t\to0}\frac{\cos(t)-1}{t^2}=-\frac12$ el límite $(1)$ es igual a $\frac12$ . Sin embargo, el límite $(2)$ no existe, ya que $\lim_{t\to0}\frac{2^t-1}t=\log2$ y por lo tanto $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2^{xy^2}-1}{xy^2}=\log(2),$$ de lo que se deduce que efectivamente el límite $(2)$ no existe. Pero entonces, como $$\frac{\cos(xy)-2^{xy^2}}{x^2y^2}=\frac{\cos(xy)-1}{x^2y^2}-\frac{2^{xy^2}-1}{x^2y^2},$$ tu límite tampoco existe.

Answer 2

Para ver explícitamente que el límite no existe consideremos $x=y= t \to 0$

$$\frac{\cos xy-2^{x{y}^2}}{x^2y^2}=\frac{\cos t^2-2^{t^3}}{t^4}=\frac{\cos t^2-1}{t^4}-\frac1{t}\frac{2^{t^3}-1}{t^3}\to -\frac12\pm\infty\cdot\log 2=\pm\infty$$