Encontrar las verdaderas raíces de $ P(x)=x^8 - x^7 +x^2 -x +15$

Question

Dejemos que $ P(x)=x^8 - x^7 +x^2 -x +15 $ La regla de los signos de Descartes nos dice que el polinomio tiene 4 raíces reales positivas, pero si agrupamos los términos como $$ P(x)= x(x-1)(x^6+1) +15 $$ encontramos que $ P(x) $ no tiene ninguna raíz positiva.

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

La "regla de los signos" sólo nos dice que podemos tener ATMOST $4$ raíces reales positivas pero no exactamente $4$ raíces reales positivas.

Esta regla sólo puede dar las máximas raíces reales positivas o negativas posibles, pero nunca puede dar el número exacto.

Para más información sobre el signo de las reglas, conocido popularmente como la regla de los signos de Descartes, puede consultar aquí

Answer 2

Tenemos que calcular el número de raíces rales de $x^8-x^7+x^2-x+15=0$

$\bf{Solution::}$ Dejemos que $f(x) = x^8-x^7+x^2-x+15$ comprobamos la solución real en $\bf{x\in \mathbb{R}}$

$\bullet$ Si $x\leq 0$ Entonces $f(x) = x^8-x^7+x^2-x+15>0$

$\bullet$ Si $0<x<1$ Entonces $f(x) = x^8+x^2(1-x^5)+(1-x)+14>0$

$\bullet$ Si $x\geq 1$ Entonces $f(x)= x^7(x-1)+x(x-1)+15>0$

Así que observamos que $f(x)= x^8-x^7+x^2-x+15>0\;\forall x\in \mathbb{R}$

Así que $f(x)=x^8-x^7+x^2-x+1=0$ no tiene raíces reales para todos $x\in \mathbb{R}$

Answer 3

Veamos Secuencias de Sturm . Aquí es más fácil utilizar un sistema de álgebra computacional, daré programas de Maxima al final.

Comenzamos con $P_0=P=x^8-x^7+x^2-x+15$ y $P_1=P'$ , entonces hacemos la división polinómica hasta que demos con un polinomio constante. Obtenemos: $$P_0=x^8-x^7+x^2-x+15$$ $$P_1=8x^7-7x^6+2x-1$$ $$P_2=\frac{7}{64}x^6-\frac{3}{4}x^2+\frac{27}{32}x-\frac{959}{64}$$ $$P_3=-\frac{384}{7}x^3+\frac{768}{7}x^2-1152x+960$$ $$P_4=-\frac{1877}{64}x^2-\frac{6571}{64}x+\frac{32501}{256}$$ $$P_5=\frac{8617090464}{3523129}x-\frac{7984345440}{3523129}$$ $$P_6=-\frac{13706250843331201741}{2062618001798881536}$$

Ahora el número de raíces entre $a$ y $b$ es $\sigma(a)-\sigma(b)$ , donde $\sigma(x)$ es el número de cambios de signo en $P_0(x), P_1(x),..., P_6(x)$ .

Necesitamos un límite superior para las raíces (o en su lugar calcular $\sigma(-\infty)-\sigma(\infty)$ ). Utilicemos El límite de Cauchy que está aquí $16$ . Entonces $\sigma(-16) = \sigma(16) = 3$ por lo que la diferencia es cero y no hay raíces reales en $[-16, 16]$ por lo que no hay una raíz real en $\mathbb{R}$ .

Aquí hay un código de Maxima para calcular todo esto.

sturmseq(p) := block(\[u:\[p,diff(p,x)\],q,r,n:2\],
while hipow(u\[n\],x)>0 do (
   \[q,r\]:divide(u\[n-1\],u\[n\]),
   u:endcons(expand(-r),u),
   n:n+1),
u)$

changes(u,a) := block(\[s:subst(x=a,u\[1\]),n:length(u),i,j:0,t\],
   for i from 2 thru n do (
   t:subst(x=a,u\[i\]),
   if (t>0 and s<0) or (t<0 and s>0) then j:j+1,
   s:t),
j)$

p:x^8-x^7+x^2-x+15$

s:sturmseq(p);
changes(s,-16);
changes(s,16);

Answer 4

Sólo por "diversión" :

$\displaystyle x^8-x^7+x^2-x+15 = \frac{(128x^4-64x^3-16x^2-8x-9)^2+4(16x^2-11x+121)^2+60(x-49)^2+43055}{2^{14}}>0\;\forall x\in \mathbb{R}$

Otra solución::

Si $x<0,$ nota que $x^8+(-x^7)+x^2+(-x)>0,$ por lo que el polinomio no puede tener ninguna raíz negativa.

Si $x\geq 0,$ entonces note que de la desigualdad AM-GM tenemos: $\left\{\begin{aligned}& \frac 78 x^8+\frac 18\geq x^7\\& x^2+\frac 14\geq x\end{aligned}\right\} ;$

Así, $\displaystyle\frac 78x^8-x^7+x^2-x+\frac 38>0;$

Answer 5

Según tengo entendido la Regla de Descartes da un límite superior al número de raíces, e identifica si ese número es par o impar (las raíces múltiples se cuentan varias veces).