Espectro de un operador compacto autoadjunto

Question

Dado un operador compacto autoadjunto $A$ en un espacio de Hilbert (separable), ¿es cierto que el espectro de $A$ es igual al cierre del conjunto de valores propios de $A$ o en símbolos $$ \sigma(A) = \sigma_P(A)? $$

Answer 1

Sí. Para un operador compacto, cualquier valor propio no nulo es un punto aislado (porque tiene que tener multiplicidad finita). Así que el único punto del espectro que puede no ser un valor propio es el cero.

Ahora bien, un operador autoadjunto no tiene espectro residual, por lo que todos los puntos del espectro son valores propios o valores propios aproximados. Así que si $0$ no es un valor propio, es un valor propio aproximado; esto significa que $0=\lim\lambda_j$ para algunos $\lambda_j$ que al ser distintos de cero serán necesariamente valores propios. Así que sí, $\sigma(A)=\overline{\sigma_P(A)}$ ; incluso de forma más concreta, $$ \sigma(A)=\{0\}\cup\sigma_p(A). $$ No es necesario cerrarlo.