Experimento EPR con partículas idénticas

Question

Esta pregunta es una extensión de una pregunta que hice anteriormente sobre la posibilidad de medir la energía de una sola partícula en un sistema de muchas partículas idénticas, que se puede encontrar ici . Una de las respuestas confirmó lo que ya sospechaba en mi pregunta, a saber, que no se puede medir la energía de un componente de una sola partícula de un sistema de muchas partículas. Supongo que esto se debe a que los estados propios de los operadores de una sola partícula no son funciones de onda de muchas partículas correctamente simetrizadas.

Si ahora extendemos el formalismo de mi pregunta anterior a otros observables (y, por tanto, a otros operadores hermitianos), me lleva a pensar que no se puede medir un observable de una sola partícula en un sistema de muchas partículas idénticas. ¿Es esto correcto? En particular, considere el caso de un sistema de dos partículas (no idénticas o idénticas) en el estado de espín-singlet: $$\lvert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert\uparrow\rangle_{1} \lvert\downarrow\rangle_{2} - \lvert\downarrow\rangle_{1} \lvert\uparrow\rangle_{2})$$ . En la versión de Bohm del argumento EPR, un sistema de un electrón y un positrón (que no son idénticos) comienza en este estado. A continuación, se realiza una medición de $S_{z}$ se realiza en el electrón y se encuentra, por ejemplo, en el estado $\lvert\uparrow\rangle_{1}$ . El estado de las dos partículas después de la medición es pues $\lvert\psi'\rangle = \lvert\uparrow\rangle_{1} \lvert\downarrow\rangle_{2}$ que es un estado aceptable para dos partículas no idénticas. Por lo tanto, el estado del positrón se ha visto afectado por una medición en el electrón.

Sin embargo, si ahora tomamos dos electrones y los preparamos en el estado singlete, este razonamiento ya no puede aplicarse. Esto se debe a que, como se ha mencionado anteriormente, no se puede medir el espín de sólo uno de los dos electrones idénticos y $\lvert\psi'\rangle = \lvert\uparrow\rangle_{1} \lvert\downarrow\rangle_{2}$ no es una función de onda aceptable para dos partículas idénticas. ¿Significa esto que no se puede realizar el experimento EPR con dos partículas idénticas?

Answer 1

Por supuesto que sí. Hay que tener en cuenta varios puntos importantes.

1. La (anti)simetrización para partículas idénticas implica sólo el número de la partícula pero no, por ejemplo, su posición. Así que si tienes dos detectores $A$ y $B$ ¡entonces los estados de espín para ellos son estados diferentes! Así que usted puede considerar, $$\vert\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\uparrow,A\rangle_1\vert\downarrow,B\rangle_2-\vert\downarrow,B\rangle_1\vert\uparrow,A\rangle_2\right)$$ pero no $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\uparrow,A\rangle_1\vert\downarrow,B\rangle_2-\vert\downarrow,A\rangle_1\vert\uparrow,B\rangle_2\right)$$ que es lo que se espera que sea el estado EPR. El estado EPR real para partículas idénticas se parece a

\begin{align} \vert\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Biggl[\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\uparrow,A\rangle_1\vert\downarrow,B\rangle_2-\vert\downarrow,B\rangle_1\vert\uparrow,A\rangle_2\Bigr)\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\uparrow,B\rangle_1\vert\downarrow,A\rangle_2-\vert\downarrow,A\rangle_1\vert\uparrow,B\rangle_2\Bigr) \Biggr] \end{align}

2. La esencia del entrelazamiento no está realmente en la no factorización del estado sino en la no factorización de los valores de expectativa, es decir, si tienes dos observables conmutables $\hat{O}_A$ y $\hat{O}_B$ su enredo significa que $\langle\chi|\hat{O}_A\hat{O}_B|\chi\rangle\neq \langle\chi|\hat{O}_A|\chi\rangle\langle\chi\hat{O}_B|\chi\rangle$

Ahora, para partículas idénticas el observable debe conmutar con cualquier operador de permutación $\mathcal{P}_\sigma$ . Esto significa que sus estados propios pueden ser apropiadamente (anti)simetrizados y conserva la (anti)simetrización de los estados sobre los que actúa. Podemos obtener un operador de este tipo utilizando el operador de (anti)simetrización, $$\mathcal{S}=\sum_{\sigma}\mathcal{P}_\sigma,\quad\mathcal{A}=\sum_{\sigma}\epsilon(\sigma)\mathcal{P}_\sigma$$ donde $\epsilon(\sigma)$ es un signo de la permutación $\sigma$ . Para dos fermiones es simplemente, $$\mathcal{A}=1-\mathcal{P}$$

A continuación, tomando localmente (actuando sólo sobre las partículas en el detector $A$ ) operador de una sola partícula $O_{A}$ y el proyector $P_{B}$ sobre los estados en el detector $A$ podemos construir el operador, $$\hat{O}_A=\mathcal{A}\Bigl(\hat{O}_{A,1}\otimes P_{B,2}\Bigr)\mathcal{A}$$ Y del mismo modo el operador $\hat{O}_B$ para el segundo detector. Se puede comprobar que conmuta con cualquier permutación simplemente porque $\mathcal{P}_\sigma\mathcal{A}=\epsilon(\sigma)\mathcal{A}$ .

Sus estados propios son antisimétricos como si $\hat{O}_{A}$ es un operador de espín, el $|\psi\rangle$ es su estado propio.

Se puede comprobar que entonces los valores de expectativa de los operadores antisimétricos $\hat{O}_A$ y $\hat{O}_B$ factorizar para $|\psi\rangle$ y no factorizar para $|\chi\rangle$ . Así que podemos decir que para $|\psi\rangle$ los espines de las partículas en los detectores $A$ y $B$ (¡no las identificamos como partículas #1 y #2!) no están entrelazadas (es análogo al estado separable) mientras que para $|\chi\rangle$ son (es el estado EPR para partículas idénticas)

Así que el punto es que puedes observar el espín de la partícula que va al detector $A$ pero no el espín de la primera partícula.

Podemos "distinguir" la partícula en alguna región utilizando operadores locales en esa región pero en realidad estamos midiendo la función de onda (anti)simetrizada de todas las partículas de este tipo a la vez por lo que no es una "etiqueta" real. Así que en el experimento EPR con partículas idénticas el entrelazamiento debe ser declarado no en términos de las partículas #1 y #2 sino en términos de los observables para los detectores $A$ y $B$ .