Pregunta sobre la cuestión de los hiperplanos

Question

Estoy empezando a estudiar álgebra lineal y me encontré con este ejercicio:

Un subconjunto de un subespacio vectorial se llama hiperplano o, más exactamente, hiperplano lineal si es un subespacio propio y tal que, junto con un único vector más, genera todo nuestro espacio vectorial.

Demuestre que: un hiperplano junto con cualquier vector que no pertenezca al hiperplano dado genera todo nuestro espacio vectorial original.

Estoy confundido ya que parece que la definición de un hiperplano proporciona la respuesta directamente. Es decir: Tengo un hiperplano, tengo un único vector adicional, por lo que debo tener un conjunto generador. ¿Me he perdido algo?

Answer 1

Las cosas podrían haberse redactado de forma un poco diferente, parece comprensible que te falte lo que te falta.

Diga $V$ es el espacio vectorial original y $H$ es nuestro hiperplano. La definición significa que hay existe un vector $x$ tal que $H$ y $x$ generar $V$ . El problema le pide que demuestre que $H$ y $x$ generar $V$ para cada $x$ (en $V$ pero no en $H$ ).

SUGERENCIA: Diga $V$ es generado por $H$ y $x_0$ . Diga $x$ es un vector en $V$ que no está en $H$ . Ahora desde $H$ y $x_0$ generar $V$ se deduce que $x=???$ y luego el hecho de que $x$ no está en $H$ muestra que el sistema de control de calidad de los productos de la industria de la construcción es muy importante para el éxito de la empresa.