Prueba de $a^n+b^n$ divisible por $a+b$ cuando $n$ es impar

Question

He leído en alguna parte que

$(a^n - b^n)$

1. Siempre es divisible por $a-b$ .
2. Cuando $n$ es par también es divisible por $a+b$ .
3. Cuando $n$ es impar no es divisible por $a+b$ .

et

$(a^n + b^n)$

1. Nunca es divisible por $a-b$ .
2. Cuando $n$ es impar es divisible por $a+b$ .
3. Cuando $n$ es par no es divisible por $a+b$ .

Me pregunto cuál es la prueba de esto.

El primer postulado está claro. $(a-b)$ sería o no un factor. ¿Alguna luz sobre otros?

Answer 1

Como usted ya comprende $\;a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1})$ . Ahora bien, si $\;n\;$ es impar entonces $\;b^n=-(-b)^n$ Así que usando lo anterior

$$a^n+b^n=a^n-(-b)^n=(a-(-b))(a^{n-1}+a^{n-2}(-b)+\ldots+a(-b)^{n-2}+(-b)^{n-1})=$$

$$=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\ldots-ab^{n-2}+b^{n-1})$$

Desde $\;(-b)^n=b^n\iff n\;$ está en paz. Por ejemplo, $\;(-b)^{n-2}=-b^{n-2}.$

Answer 2

Si $a=b, a^n=b^n$

o $\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Si $a=-b, a^{2m+1}=(-b)^{2m+1}=-b^{2m+1}$

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Inducción :

$\displaystyle a^n-b^n=a(a^{n-1}-b^{n-1})+b^{n-1}(a-b) $

$\displaystyle a^{2m+1}+b^{2m+1}=a^2(a^{2m-1}+b^{2m-1})-b^{2m-1}(a^2-b^2) $

Answer 3

Para $a^n+b^n$ , para tratar los casos impar e incluso en un solo marco si haces la división larga te darás cuenta de la siguiente identidad: $$ a^n+b^n = (a+b)\left(\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k a^{n-1-k}b^k\right) +(1+(-1)^n)b^n $$

Answer 4

Si el primer postulado está claro, entonces $a^\text{even}-b^\text{even}=a^{2n}-b^{2n}=(a^2)^n-(b^2)^n$ que es divisible
a través de $(a^2-b^2)$ . Pero $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Entonces debería ser obvio por qué este truco puede
no se aplica para los valores Impares del exponente, lo que implica $(3)$ . En cuanto al segundo grupo es con-
de la seguridad, pruebe a dar valores pequeños a n como por ejemplo $3$ o $5$ y calcular $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ o
$(a+b)(a^4-a^3b$$ +a^2b^2-ab^3+b^4)$. Observa cómo los términos se anulan entre sí, debido a
signo-alternancia, y sólo quedan el primero y el último. A continuación, intente aplicar una
truco para igualar los valores de n y fíjate en cómo eso obligaría a los mayores poderes de a y b para ser
de signos opuestos.