¿Razón de la discreción que surge en la mecánica cuántica?

Question

Cuál es la razón más esencial que conduce realmente a la cuantificación. Estoy leyendo el libro sobre mecánica cuántica de Griffiths. Los cuantos en el pozo de potencial infinito, por ejemplo, surgen debido a las condiciones de contorno, y los cuantos en el oscilador armónico surgen debido a las relaciones de conmutación de los operadores de escalera, que dan valores propios de energía que difieren en un múltiplo de $\hbar$ . Pero, ¿cuál es realmente la razón de la discreción en la teoría cuántica? ¿Qué postulado es el responsable de ello? Intenté ir hacia atrás, pero para mí de alguna manera parece salir mágicamente de las matemáticas.

Answer 1

Si sólo se me permite utilizar una sola palabra para dar una razón intuitiva demasiado simplificada de la discreción en la mecánica cuántica, elegiría la palabra ' compacidad '. Ejemplos:

1. El finito número de estados en un compacto región del espacio de fase. Véase, por ejemplo este & este Mensajes de Phys.SE.

2. El discreto espectro para los generadores del álgebra de Lie de un compacto Grupo de Lie, por ejemplo, operadores de momento angular. Véase también este Puesto de Phys.SE.

3. Por otro lado, el espacio de posición $\mathbb{R}^3$ en la mecánica cuántica elemental no relativista es no compacto, de acuerdo en que en principio podemos encontrar la partícula puntual en cualquier continuo posición $\vec{r}\in\mathbb{R}^3$ . Ver también este Puesto de Phys.SE.

Answer 2

Hay varias formas de discreción en la teoría cuántica. La más sencilla es la discreción de los valores propios y los estados propios contables asociados. Surgen de forma similar a las ondas estacionarias discretas en una cuerda de guitarra. Las condiciones de contorno sólo permiten ciertas ondas estacionarias que encajan bien en la región forzada en el espacio. Aunque la cuerda es un objeto continuo, su espectro se vuelve discontinuo y se etiqueta naturalmente con números naturales. Exactamente lo mismo ocurre en los potenciales cuánticos no limitados (desde arriba) como el pozo infinito o el oscilador armónico, donde también se obtienen ondas cuánticas estacionarias discretas. (Otros potenciales pueden generar valores propios discretos y continuos al mismo tiempo)

Otra razón para la discreción aparece con los sistemas multipartícula. La teoría cuántica exige que un sistema realizado en el espacio-tiempo contenga una representación unitaria del grupo de simetría del espacio-tiempo, el grupo de Lorentz. De hecho, se puede definir una partícula en la teoría cuántica como un subsistema que contiene dicha representación del grupo. Y como no puedes tener ninguna fracción no entera de una representación de grupo unitario, necesitas tener un número entero de ellas en tu sistema total. Así que el número de partículas es también una característica discreta (esperada), y juega un papel importante cuando se habla de fotones individuales, por ejemplo, que son absorbidos completamente o no.

Y, por último, hay una forma de discreción que viene con la medición cuántica. El postulado de la medición dice que el resultado de una medición es un valor propio de un operador hermitiano llamado observable. Ahora bien, la existencia de espectros discretos para estos operadores está relacionada con mi primer punto (condiciones de contorno), pero éste es más profundo. Mientras que la existencia de un espectro discreto de las energías de un sistema sigue permitiendo todos los valores continuos de energía por superposición, el resultado de la medición da lugar a un resultado exactamente (a menudo discreto). Esto es responsable de la discreción de los haces en el experimento de Stern-Gerlach, por ejemplo. La razón por la que la medición cuántica funciona de esta manera es esencialmente una cuestión abierta incluso hoy en día. Existen algunas aproximaciones para responderla, pero no hay una respuesta generalmente aceptada que explique todos los aspectos de forma convincente.

Answer 3

Si quieres puedes volver a la derivación de Planck del espectro de energía del cuerpo negro, también conocida como Ley de Planck así como el uso de Einstein del trabajo de Planck en su explicación de la Efecto fotoeléctrico (que le valió el premio Nobel) para entender primero algunas de las motivaciones experimentales. Sin embargo, para entender las raíces de la mecánica cuántica en la física atómica, hay que remontarse al modelo de Bohr y Rutherford sobre el hidrógeno. Una introducción a la física cuántica de French y Taylor discute el modelo Bohr-Rutherford del átomo de hidrógeno en la página 24. Este modelo se introdujo hacia 1913 y Bohr aportó dos postulados clave:

1. Un átomo tiene un número de posibles "estados estacionarios". En cualquiera de estos estados los electrones realizan movimientos orbitales según la mecánica newtoniana, pero (en contra de las predicciones del electromagnetismo clásico) no irradian mientras permanezcan en órbitas fijas.

2. Cuando el átomo pasa de un estado estacionario a otro, lo que corresponde a un cambio de órbita (un "salto cuántico") de uno de los electrones del átomo, se emite radiación en forma de fotón. La energía del fotón no es más que la diferencia de energía entre los estados inicial y final del átomo. La frecuencia clásica $\nu$ se relaciona con esta energía a través de la relación Planck-Einstein:

$$E_{photon} = E_i - E_f = h\nu$$

Que fue descrito en el documento de Bohr Sobre la constitución de los átomos y las moléculas . Estos postulados son un poco anticuados en las concepciones modernas del movimiento de los electrones, ya que ahora entendemos mejor las cosas en términos de la Ecuación de Schrodinger , lo que permite una modelo extremadamente preciso del átomo de hidrógeno . Sin embargo, uno de los conceptos clave que introdujo Bohr es el Principio de correspondencia que, según French y Taylor:

...requiere que las predicciones clásicas y cuánticas coincidan en el límite de los grandes números cuánticos...

Este es un ingrediente clave en la física moderna, y se entiende mejor en términos de análisis asintótico . La mayoría de las teorías modernas conectan con los fenómenos reales observados en el límite N grande de la teoría.

Es cierto que estos son los orígenes prácticos de por qué tenemos la mecánica cuántica, en cuanto a la razón por la que la naturaleza eligió estas cosas, la respuesta podría ser muy antrópica. Simplemente no existiríamos sin ellas. Dirac se preguntaba con frecuencia por qué y esta fue su respuesta en 1963 :

Parece ser una de las características fundamentales de la naturaleza que las leyes físicas fundamentales se describan en términos de una teoría matemática de gran belleza y poder, necesitando un nivel bastante alto de matemáticas para poder entenderla. Usted puede preguntarse: ¿Por qué la naturaleza está construida de esta manera? Sólo se puede responder que nuestros conocimientos actuales parecen mostrar que la naturaleza está construida así. Simplemente tenemos que aceptarlo. Tal vez se podría describir la situación diciendo que Dios es un matemático de muy alto nivel, y que utilizó matemáticas muy avanzadas para construir el universo.

A pesar de varios intentos modernos de atacar los aspectos más metafísicos de esto, y darles rigor, todavía no hay una respuesta realmente buena... como Feynman o Mermin dijo:

¡Cállate y calcula!

Answer 4

En un sentido más matemático, la discreción surge simplemente de las matemáticas. Por ejemplo: La ecuación de Schrodinger es un problema clásico de Sturm-Liouville en EDO. https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm -Teoría de Liouville

Esto significa que obtenemos funciones propias (nuestros estados propios en QM) y valores propios correspondientes a esas funciones propias (nuestros niveles de energía). El operador hamiltoniano en la ecuación de Schrodinger sería nuestro operador SL autoadjunto.

Answer 5

Una pregunta muy interesante, sin duda.

A finales del siglo XIX la física tuvo una crisis ordinaria: la física clásica de la época predecía que la intensidad de la radiación emitida por los cuerpos negros debía aumentar monotónicamente con el aumento de la frecuencia de las ondas. Esto se puede ver en un gráfico (curva negra, 5000K) :

Uno, sumando todas las energías que el cuerpo negro irradia de todas las frecuencias puede mostrar que debe acercarse al infinito. Así, el cuerpo negro irradiaría casi instantáneamente toda su energía y se enfriaría hasta el cero absoluto. Esto se conoce como " Catástrofe ultravioleta ". Pero en la práctica no era así. El cuerpo negro irradiaba realmente según una ley desconocida en aquella época (curva azul, 5000K).

En 1900, Max Plank, partiendo de las extrañas suposiciones de la época, dijo que la energía es absorbida o emitida discretamente por los cuantos de energía ( $E=h\nu$ ) - fue capaz de derivar la ley de distribución espectral de intensidad correcta y resolver la catástrofe ultravioleta :

$$ B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}} $$

Albert Einstein, en 1905, volvió a remendar la Física y demostró que el quanta de Plank no es sólo una construcción teórica vacía, sino real partículas físicas, que ahora llamamos fotones.