Intersección de la clase número uno de los campos de

Question

Deje $F$ $K$ dos campos de número de la clase número uno. ¿Cómo se puede demostrar que el número de clase de $F \cap K$ es también igual a uno.

He estado tratando de demostrar algo como la intersección de hilbert campos de la clase es la de hilbert campo de clase de la intersección, pero no he sido capaz de hacerlo ni tengo ningún tipo de indicación de que debe ser cierto.

Podemos decir algo en general sobre el número de clase de la intersección de dos campos ? O acerca de Hilbert campo de clase de la intersección de dos campos ?

De todos modos supongo que esta afirmación debe tener una forma más elemental de respuesta.

Answer 1

La primera (no general), la pregunta es una consecuencia del lema 2.1 de las siguientes notas : https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/clases/254a/conferencias/35.pdf.

Se dice que si $K$ es un campo de número y si $L$ es una extensión de $K$ con la clase número uno, a continuación, hilbert campo de la clase de $F\cap K$ está contenido en $L$. Entonces es claro que en el caso de hilbert campo de la clase contenida en $F$$K$, por lo que es igual a$F\cap K$, lo que implica que $F \cap K$ tiene clase número uno.

Yo no voy a aceptar esta respuesta pero ya que todavía estoy buscando uno más general o tal vez para un mayor acercamiento elemental a la primera pregunta.