Dejemos que $f:[a,b] \rightarrow [a,b]$ sea una función continua. Definir $p_0 = p \in [a,b]$ y $p_{n+1} = f(p_n)$ y que el conjunto $K_p := \{p_n, n\geq 0\}$ sea un conjunto cerrado. Demostrar que $K_p$ es finito.
Mi intento:
O bien todos los elementos de $K_p$ están aislados, lo que significaría que podríamos construir una secuencia monótona $a_n$ con todos los elementos de $K_p$ .
$a_n$ está claramente acotado ya que se encuentra en $[a,b]$ por lo que debe converger a un límite $L$ .
Porque $K_p$ está cerrado $L \in K_p$ pero una secuencia monótona sólo puede converger a un miembro de sí misma si $a_n = L, \forall n \geq n_0$ lo que significaría $K_p$ es finito.
O $K_p$ tiene al menos un punto de acumulación $x_0$ . Así que podemos tomar una secuencia de $K_p$ convergiendo a $x_0$ esto significaría $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = x_0$ sino porque $f$ es continua $\lim_{n \rightarrow \infty} f(a_n) = f(x_0) \iff \lim_{n \rightarrow \infty} a_{"n+1"} = f(x_0) = x_0$ . Así que todos los puntos de acumulación de $K_p$ son puntos fijos pero no puedo terminar la prueba (que esto significaría $K_p$ es finito). En realidad, este último párrafo se ha desordenado un poco.
