Dejemos que $S$ sea una representación de espín del euclidiano grupo de espín $Spin(d)$ y que ${\mathbb R}^d$ sea euclidiano $d$ -espacio con $Spin(d)$ acción sobre el mismo de forma canónica, a través de la tapa 2:1 a $SO(d)$ . (Estoy siendo cuidadoso aquí: A spin rep.'', not el representante del giro").
¿Hay, para todos $d$ , un onto cuadrático $Spin(d)$ -mapa equivariante $S \to {\mathbb R}^d$ ? En caso afirmativo, ¿existe una solución "universal" ( $d$ -¿Independiente) de la construcción de este mapa?
MOTIVACIÓN: Para $d=2, 3$ Conozco estos mapas. Son famosos en la mecánica celeste y dan la
regularizaciones estándar del problema de Kepler, o, lo que es lo mismo, de las colisiones binarias en el problema clásico de N cuerpos. Convierten a Kepler para energías negativas en un oscilador armónico.
Caso $d=2$ . Tomo $Spin(2)$ para ser también $S^1$ pero envuelto "dos veces" alrededor de $S^1 = SO(2)$ . $S = {\mathbb C}$ . El mapa cuadrático es $w \to w^2$ . Se trata de la regularización Levi-Civita.
Caso $d= 3$ . Este es el mapa de Hopf estándar ${\mathbb C}^2 \to {\mathbb R}^3$ , o si lo prefiere, de los cuaterniones ${\mathbb H }$ a ${\mathbb R}^3$ , enviando $q$ a $q k \bar q$ . Los astrónomos llaman a esto regularización Kuustanheimo-Steifel.
DONDE HAY QUE BUSCAR HASTA AHORA: Intenté dar sentido a de la discusión de Deligne sobre espinores en el conjunto de dos volúmenes de la AMS de algún año de Princeton sobre teoría de cuerdas de hace una década o así. Entiendo que sobre los complejos, hay exactamente una o exactamente dos representaciones de espín, dependiendo de la paridad de $d$ . Así que incluso allí, no obtenemos un mapa `universal' dependiente de d. Sobre los reales las cosas se descomponen de una manera bastante complicada dependiente de la dimensión (mod 8 probablemente) y no hay una opción clara. También busqué en el libro de Reese Harvey que me parece demasiado barroco y demasiado barroco y dependiente de la firma para penetrar en él.
Caso $d=4$ . Aquí no estoy seguro. Pero sé que $Spin(4) = SU(2) \times SU(2)$ que puedo considerar como dos copias de los cuaterniones unitarios, cada uno actuando sobre ``su propia'' ${\mathbb H}$ . Supongo que en este caso será mejor que tome $S = {\mathbb H} \times {\mathbb H}$ Entonces obtengo el mapa cuadrático deseado ${\mathbb H} \times {\mathbb H} \to {\mathbb H} = {\mathbb R}^4$ como $(q_1, q_2) \mapsto q_1 \bar q_2$ .
