Pregunta difícil sobre polinomios

Question

Dejemos que $P(x)$ sea un polinomio cuyo grado es 1996. Si $P(n) = \frac{1}{n}$ para $n = 1, 2, 3, . . . , 1997$ , calcula el valor de $P(1998).$

No sé ni por dónde empezar...

Cualquier ayuda sería apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Si $P(n) = \frac 1n$ para $n=1,2,3,\dots,1997$ entonces $nP(n)-1=0$ para todos $1 \le n \le 1997$ . Es decir, el $1997^{th}$ polinomio de grado $xP(x)-1$ tiene raíces $1,2,3,\dots,1997$ .

Esto implica $xP(x)-1=c(x-1)(x-2)\dots(x-1997)$ . Si $x=0$ tenemos $-1=-c(1997!)$ .

Por lo tanto,

$$c = \frac 1{1997!}\implies 1998P(1998)-1 = \frac 1{1997!}(1997!)=1 \implies P(1998)=\frac 2{1998}$$

(Esto es más o menos lo que dice el enlace de Chantry Cargill más arriba. Lo escribí como una respuesta de CW para evitar el linkrot).