Demostrar que un conjunto A⊂ℝ es conexo si es un intervalo.

Question

Sé que la prueba de que el intervalo [a,b] es conectado. Pero cómo probar que un conjunto A es conexo si es un intervalo.

Answer 1

$\Rightarrow$

Lo demostramos por contradicción.

Supongamos que $A$ no es un intervalo, entonces podemos tomar tres números reales $a,b,c$ tal que $a<c<b$ , $a,b \in A$ y $c \notin A$ . Sea $A_1=A \cap (-\infty,c), A_2=A \cap (c,+\infty)$ entonces $A=A_1 \cup A_2, A_1 \cap A_2=\varnothing$ . Observe que $A_1$ y $A_2$ son ambos subconjuntos abiertos no vacíos de $A$ , $A$ por lo tanto, no está conectado. ¡Contradicción!

$\Leftarrow$

Si $A$ es un intervalo, debe ser una de las siguientes formas:

$(a,b),[a,b],[a,b),(a,b]$

donde $-\infty \leq a \leq b \leq +\infty$ .

Podemos comprobar fácilmente cada caso para demostrar que $A$ está conectado. La conectividad de $\mathbb{E^1}$ puede utilizarse para la prueba.