¿Tiene esta integral una solución analítica?

Question

Busco una solución analítica genérica para la siguiente integral:

$\int^{+\infty}_{-\infty} x^k H_n(x) e^{-x^2} dx$

en términos de $k$ y $n$ Probablemente hay un $\sqrt{\pi}$ en alguna parte. Donde $k$ y $n$ son números enteros y $H_n$ es el $n^{\text{th}}$ orden del polinomio de Hermitage. Parece tan simple que creo que debe haber uno. ¿Alguien sabe de algún documento o fuente que tenga la solución analítica? ¡Saludos Chicos!

Answer 1

Introduzca la definición de $H_n$ para conseguir $$\int_{-\infty}^{\infty} (-1)^n x^k \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)\,dx$$ que está pidiendo la integración por partes: $$\int_{-\infty}^{\infty} (-1)^n x^k \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)\,dx = -\int_{-\infty}^{\infty} (-1)^n kx^{k-1} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(e^{-x^2}\right)\,dx.$$ Así que si $k<n$ , obtienes cero. En caso contrario, la integral es igual a $$k! \int_{-\infty}^{\infty} x^{k-n} e^{-x^2}\,dx$$ que también es cero si $k-n$ es impar. De lo contrario, dejar que $u=x^2$ obtenemos $$k!\int_0^\infty u^{(k-n-1)/2} e^{-u}\,du = k!\,\Gamma\left(\frac{k-n}{2}+\frac{1}{2}\right) = \frac{k!(k-n)!\sqrt{\pi}}{4^n\left(\frac{k-n}{2}\right)!}$$