Existencia de un subgrupo normal con $\lvert\operatorname{Aut}{(H)}\rvert>\vert\operatorname{Aut}{(G)}\rvert$

Question

¿Existe un grupo finito $G$ y un subgrupo normal $H$ de $G$ tal que $\lvert\operatorname{Aut}{(H)}\rvert>\lvert\operatorname{Aut}{(G)}\rvert$ ?

Answer 1

Una versión de la respuesta de Robin Chapman que podría ser más fácil de verificar:

El grupo aditivo $H$ de un campo de orden $2^{n}$ tiene dos buenos tipos de automorfismo: la multiplicación por un escalar y el automorfismo de Frobenius. El producto semidirecto $G$ se llama $AΓL(1,2^{n})$ . Tiene orden $(2^{n})⋅(2^{n}−1)⋅(n) ≤ 2^{3n}$ y para $n ≥ 2$ es su propio grupo de automorfismo.

Tiene el grupo aditivo $H$ del campo como un subgrupo normal. Sin embargo, como sólo un grupo aditivo, $H$ tiene como grupo de automorfismo todas las matrices n×n sobre el campo con 2 elementos, que tiene tamaño $(2^{n}−1)⋅(2^{n}−2)⋅⋅⋅(2^{n}−2^{n−1}) ≥ 2^{(n−1)^{2}}$ .

Para los grandes $n$ , $|Aut(G)| = (2^{n})⋅(2^{n}−1)⋅(n) ≤ 2^{3n} ≤ 2^{(n−1)^{2}} ≤ (2^{n}−1)⋅(2^{n}−2)⋅⋅⋅(2^{n}−2^{n−1}) = |Aut(H)|$

En particular:

Para $n = 4$ , $G = AΓL(1,16)$ , $Aut(G) = G$ tiene orden $960$ y $Aut(H) = GL(4,2)$ tiene orden $20160$ .

Para $n = 10$ , $G = AΓL(1,1024)$ , $Aut(G) = G$ tiene orden $10475520$ y $Aut(H) = GL(10,2)$ tiene orden $366440137299948128422802227200$ .

En otras palabras, $Aut(H)$ puede ser enormemente mayor que $Aut(G)$ .

Esto es razonablemente importante en la teoría de grupos finitos:

$G$ es un grupo muy rígido con mucha estructura. Como contiene todos los "automorfismos" del campo, el propio grupo determina el campo. Un automorfismo del grupo tendrá que ser un automorfismo del campo, y ya los hemos enumerado todos. A veces esto se expresa diciendo que el grupo G determina la geometría de la línea afín sobre la que actúa.

$H$ es un grupo muy flexible al que se le puede hacer casi todo. Sin los mapas que codifican la multiplicación escalar, $H$ ya no recuerda el campo que lo definió. Es sólo un espacio vectorial, por lo que en lugar de los (muy pocos) automorfismos de campo, ahora se permite utilizar cualquier automorfismo de espacio vectorial. $H$ ha perdido su estructura.

Creo que $H$ es el ejemplo canónico de un grupo sin estructura. Grupos como $GL$ y $AΓL$ son ejemplos bastante estándar de grupos con una estructura muy clara. El grupo simétrico es muy similar. Salvo en algunos casos tempranos, un grupo simétrico es su propio grupo de automorfismo porque ya contiene en sí mismo el conjunto de puntos sobre el que actúa.

Answer 2

El grupo cuasidihédrico de orden 16, QD16, tiene un grupo de automorfismo de orden 16, pero tiene Q8 (el grupo de cuaterniones) como subgrupo normal, y | Aut(Q8) | = 24.

Steve

Answer 3

Un grupo abeliano elemental puede tener un gran grupo de automorfismo. Sea $H$ sea un grupo abeliano elemental grande, y $G$ sea una extensión de $H$ sea un producto semidirecto con un grupo cíclico que actúa fielmente sobre $H$ . Entonces es posible para Aut $(G)$ sea menor que Aut $(H)$ .

Answer 4

Dejemos que $F_4 = Z/2[w]/w^2+w+1$ sea el campo de orden 4.

Dejemos que $H = (F_4^+)^n = (Z/2)^{2n}$ para $n \geq 2$ .

Entonces $Aut(H) = GL(2n,F_2)$ que tiene orden $(4^n-1)(4^n-2)(4^n-4)...(4^n-2*4^(n-1))$

Dejemos que $G$ sea $\langle H,a : a^3 = 1, axa^{-1} = wx \ \text{for} \ x \in H \rangle$ . Así que $G$ es el producto semidirecto de $H$ con $Z/3$ donde la acción viene dada por la multiplicación por $H$ . Un automorfismo de $G$ debe arreglar $H$ ( $H$ consiste en el conjunto de elementos de orden 2). También debe enviar a uno de los 2*4^n elementos de orden 3. Consideremos sólo los automorfismos de $G$ que fijan a (que es un subgrupo de $Aut(G)$ del índice $2*4^n$ ). Se trata de automorfismos de H que conmutan con la multiplicación por w. Por tanto, son automorfismos de $F_4^n$ como $F_4$ espacio vectorial, o elementos de $GL(n,F_4)$ . Por lo tanto, $|Aut(G)| = 2*4^n* (4^n-1)(4^n-4)...(4^n-4^(n-1))$ .

Para $n \geq 2$ es evidente que $|Aut(H)| > |Aut(G)|$ .

Answer 5

Problema 5