Esta es una pregunta un tanto vaga. He visto varias introducciones a la teoría de categorías, y cuando alguien presenta (co)límites, los ejemplos típicos son siempre (co)productos, (co)igualadores y pullbacks/pushouts. Sé que estos son importantes y aparecen mucho en diferentes contextos en muchas áreas de las matemáticas. Pero la definición de (co)límites es muy general, y nunca he visto que se utilicen otros diagramas concretos. Así que me preguntaba si hay algún otro útil (co)límites que la gente utiliza (por supuesto, lo de "útil" puede depender mucho de la interpretación, pero cualquier ejemplo me resultaría interesante).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ciertamente, los colímites filtrados (también llamados límites directos) y los límites cofiltrados (también llamados límites inversos) aparecen con frecuencia:
Los límites inversos aparecen, por ejemplo, en la definición del $p$ -ádicos, o siempre que se tenga algo profinito (por ejemplo, en la teoría de Galois infinita);
y los límites directos surgen siempre que se tienen cosas "finitas" que son más fáciles de entender y se quiere descomponer un objeto en términos de sus subobjetos "finitos". Por ejemplo, cualquier artilugio algebraico (en el sentido de un modelo de una teoría algebraica) es un colímite filtrado de sus subobjetos finitamente generados, lo que a menudo permite reducir el estudio a cosas finitamente generadas. O también se pueden expresar los coproductos infinitos como colímitos filtrados de los coproductos finitos, y esos son a veces más fáciles de entender.
He aquí algunos ejemplos concretos:
-límites inversos : $\mathbb Z/p^n$ con mapas $\mathbb Z/p^{n+1}\to \mathbb Z/p^n$ siendo la proyección canónica, el límite inverso es $\mathbb Z_p$ El $p$ -adics, más generalmente para un anillo conmutativo $R$ y un ideal $I$ , $\varprojlim_n R/I^n$ es el llamado $I$ -Cumplimiento de los requisitos de $R$ para un campo $K$ , $Gal(\overline K/K) = \varprojlim_LGal(L/K)$ , donde $L$ se ejecuta en las subextensiones de Galois finitas de $\overline K/K$ ;
-Colímites filtrados: $\mathbb Z/p^n$ con la inclusión $\mathbb Z/p^n\to \mathbb Z/p^{n+1}$ siendo inducido por la multiplicación por $p$ (muy diferente del sistema inverso), el colímite de éste es $\mathbb Z/p^\infty$ (el $p$ -parte principal de $\mathbb{Q/Z}$ ); en espacios topológicos, $\mathbb RP^\infty = \mathrm{colim}_n \mathbb RP^n$ el espacio proyectivo infinito es el colímite de los espacios proyectivos de dimensión finita; en los espacios vectoriales $K[x] = \mathrm{colim}_n K[x]_{\leq n}$ (espacio de polinomios de grado $\leq n$ )
O en topología, la compacidad juega el papel de la finitud, y puedes estar contento cuando puedes descomponer algún espacio en la forma de un colímite filtrado de espacios compactos (por ejemplo, bonitos complejos CW)
Otro tipo de colímite que aparece a menudo en la teoría de la homotopía son los colímites sobre $\Delta^{op}$ la categoría simplex.
Se han mencionado otros ejemplos en los comentarios: para la definición del tallo de una gavilla en un punto, o para una extensión de Kan izquierda, tienes varios tipos raros de diagramas que pueden surgir - y a veces no sabes, o ni siquiera quieres saber cómo es ese diagrama, por eso es interesante tener una teoría general de (co)límites, para poder arreglártelas sin conocer la forma específica del diagrama.
