¿Cuál es la media de $y=kg^t$ de $t=a$ a $t=b$

Question

Media de $y$ en $y=kg^t$ de $t=a$ a $t=b$ .

$g$ es una constante, $t$ varía.

He buscado esto en los libros de texto y en internet y lo único que encuentro es la media de una función donde $t$ es una constante y $g$ es variable. Pero eso no es lo que quiero.

Alguna aproximación muestra claramente que la media no es el valor del punto medio donde $t=(a+b)/2$ .

Mi cálculo es demasiado básico para resolver esto.

Answer 1

Asumiré que $g>0$ (porque si no, esto no tiene sentido).

La media suele definirse como el número $\bar{y}$ tal que $$ (b-a)\bar{y} = \int_a^b kg^t\,dt $$ (es decir, el rectángulo con altura $\bar{y}$ tiene la misma superficie que hay bajo su función, en ambos casos entre $t=a$ y $t=b$ ), o $$ \bar{y} = \frac{1}{b-a}\int_a^b kg^t\,dt. $$ WolframAlpha es un buen lugar para estas integrales : $$ \bar{y} = \frac{1}{b-a}\int_a^b kg^t\,dt=\frac{1}{b-a} \frac{k(g^b - g^a)}{\log(g)}. $$