Combinatoria -valor medio

Question

P:determinar el valor medio de

$\ i_1i_2 +i_2i_3 +i_3i_4 + .....+i_{10}i_1$

tomada sobre todas las permutaciones $i_1,i_2,....i_{10}$ de 1,2,3...10.

Así es como lo he intentado :-

$\ i_1$ puede tomar valores de 1,2,3...10. Así que el valor medio es $\ (1+2+3..+10)/10 =5.5 $

es el valor medio de $\ i_2,i_3,.....i_{10}$

valor medio de $\ i_1i_2= 5.5*5.5=30.25$

por lo que el valor medio de la expresión dada será $\ 30.25*10=302.5$

Estoy seguro de que mi respuesta es incorrecta, pero cualquier idea sobre cómo proceder será muy útil.

Answer 1

Podemos utilizar la fórmula,

$$\sum_{i=a}^{b}\sum_{j=a}^{b} a_ib_j=\sum_{i=j=a}^{b}a_ib_j+\sum_{i\neq j}^{a\to b}a_ib_j$$

Queremos $$\sum_{a\neq b}^{1\to 10} i_ai_b=\sum_{a=1}^{10}\sum_{b=1}^{10}i_ai_b-\sum_{a=b=1}^{10}i_ai_b$$ $$=(\sum_{a=1}^{10}i_a)(\sum_{b=1}^{10}i_b)-\sum_{a=1}^{10}i_a^2$$ $$=(i_1+i_2+i_3+\cdots+i_{10})(i_1+i_2+i_3+\cdots+i_{10})-(i_1^2+i_2^2+i_3^2+\cdots+i_{10}^2)$$

Así que el valor medio es igual, $$=\frac{1}{90}((i_1+i_2+i_3+\cdots+i_{10})^2-(i_1^2+i_2^2+i_3^2+\cdots+i_{10}^2))$$

Answer 2

Cada producto $i\cdot j$ se produce $10 \times 2 \times 8!$ tiempos.

Supongamos que $i=1, j=2$ . El producto $i\cdot j$ ocurre para las permutaciones en las que $i_k = 1, i_{k+1} = 2$ o $i_k=2, i_{k+1} = 1$ y los 8 elementos restantes se permutan entre sí en $8!$ formas. Desde $k$ puede tomar valores entre 1 y 10 (con $10+1$ interpretado como 1), obtenemos que cada producto ocurre $10 \times 2 \times 8!$ veces. Así, la suma es $$10 \times 2 \times 8! \sum_{a,b=1, a \neq b}^{10} ab = 20 \times 8!\times \frac{1}{2}\left((1+2+\cdots+10)^2 - (1^2+\cdots +10^2) \right)$$ Por lo tanto, la media es $$\frac{55^2 - 385}{9} = \frac{880}{3}$$

Answer 3

Para resolver esta cuestión, intente lo siguiente :

• ¡Cada par (a,b) tal que a,b se encuentra en [1, 10] y a < b y a * b se incluye en cualquiera de las permutaciones resultado ocurrirá 2 * 8 ! * 10 veces en la suma de esta expresión a evaluar sobre todas las permutaciones posibles, es decir, en la suma sobre todas las permutaciones ( i ₁ * i ₂ + i ₂ *i ₃ ... i ₁₀ * i ₁ ).

Así, la suma sobre todas las permutaciones ( i ₁ * i ₂ + i ₂ *i ₃ ... i ₁₀ * i ₁ ) viene dada por :

¡2 * 8 ! * 10 * [ Suma(i = 1,10)[ Suma( j = 1,10 y i < j ) [ i*j ] ] ]

\=

¡2 * 8 ! * 10 * 0,5 * ( (Suma(i = 1,10)[i]) 2 - (Suma(i = 1,10)[i 2 ]) )

llamemos a este valor X.

• Ya que hay 10 ! permutaciones en total.

Así que la media viene dada por :

avg = X / ( 10 ! ) = 2 * 8 ! * 10 * 1320 / (10!) = 1320 * 2 / 9 = 880 / 3