Demostrar la continuidad débil-débil.

Question

Dejemos que $p,q\in ]1,\infty[,$ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continua, $|f(s)| \leq C|s|^{\frac{p}{q}}$ , donde $C>0$ es una constante.

Dejemos que $A:\ell^p \to \ell^q, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto (a_n+f(x_n))_{n\in\mathbb{N}},$ donde $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\ell^q$ .

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Quiero demostrar que A es débil-débil-continuo en la bola unitaria en $\ell^p$ .

Esto es lo que tengo:

Dejemos que $(x_n^{(m)}) \rightharpoonup (x_n)$ en la bola de la unidad, $(y_n) \in \ell^p$ .

\begin{align*} |\langle A((x_n^{(m)})) - A((x_n)), (y_n)\rangle|^q & = |\langle (f(x_n^{(m)}) - f(x_n)), (y_n)\rangle|^q \\ & \le \langle (|f(x_n^{(m)})-f(x_n)|), (|y_n|)\rangle^q \\ & \le \langle (|f(x_n^{(m)})|+|f(x_n)|), (|y_n|)\rangle^q \\ & \le \sum_{n=1}^{\infty}|f(x_n^{(m)})y_n|^q + \sum_{n=1}^{\infty}|f(x_n)y_n|^q \\ & \le C\left(\sum_{n=1}^{\infty}|{x_n^{(m)}}^{\frac{p}{q}}y_n|^q + \sum_{n=1}^{\infty}|x_n^{\frac{p}{q}}y_n|\right)^q \\ & \le C\left(\sum_{n=1}^{\infty}|{x_n^{(m)}}^p y_n^q| + \sum_{n=1}^{\infty}|x_n^py_n^q|\right) \\ & \le C\left(\sum_{n=1}^{\infty}|y_n^q| + \sum_{n=1}^{\infty}|y_n^q|\right). \end{align*}

Pero esto no me da lo que quiero. Creo que estoy totalmente equivocado con esta estimación. ¿Pueden ayudarme en esto?

Answer 1

Supongamos que $x^{(m)}\rightharpoonup x$ y $y\in\ell^{q'}$ , donde $q'$ es el exponente conjugado a $q$ . Entonces, para cualquier $N\in\mathbb N$ , $$\begin{multline*}\left|\left<y,Ax^{(m)}-Ax\right>\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty}y_n(Ax_n^{(m)}-Ax_n)\right|=\left|\sum_{n=1}^{\infty}y_n(f(x_n^{(m)})-f(x_n))\right|\\ \leq\left|\sum_{n=1}^Ny_n(f(x_n^{(m)})-f(x_n))\right|+\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}|y_n|^{q'}\right)^{1/q'}\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}|f(x_n^{(m)})-f(x_n)|^q\right)^{1/q}.\end{multline*}$$ Tenga en cuenta ahora que $(x^{(m)})_m$ está acotado en $\ell^p$ Así que $\|x^{(m)}\|_p\leq M$ . Entonces, para cualquier $N\in\mathbb N$ , $$\begin{align*}\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}|f(x_n^{(m)})-f(x_n)|^q\right)^{1/q}&\leq \left(\sum_{n=N+1}^{\infty}|f(x_n^{(m)})|^q\right)^{1/q}+\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}|f(x_n)|^q\right)^{1/q}\\ &\leq \left(\sum_{n=N+1}^{\infty}\left|C|x_n^{(m)}|^{p/q}\right|^q\right)^{1/q}+\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}\left|C|x_n|^{p/q}\right|^q\right)^{1/q}\\ &\leq C\|x^{(m)}\|_p^{p/q}+C\|x\|_p^{p/q}\leq CM^{p/q}+C\|x\|_p^{p/q},\end{align*}$$ por lo tanto, para cualquier $N\in\mathbb N$ , $$\left|\left<y,Ax^{(m)}-Ax\right>\right|\leq \left|\sum_{n=1}^Ny_n(f(x_n^{(m)})-f(x_n))\right|+\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}|y_n|^{q'}\right)^{1/q'}(CM^{p/q}+C\|x\|_p^{p/q}).$$ Dejemos ahora $\varepsilon>0$ entonces existe $N\in\mathbb N$ tal que $$\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}|y_n|^{q'}\right)^{1/q'}(CM^{p/q}+C\|x\|_p^{p/q})<\varepsilon,$$ por lo tanto, para este particular $N$ , $$\left|\left<y,Ax^{(m)}-Ax\right>\right|\leq \left|\sum_{n=1}^Ny_n(f(x_n^{(m)})-f(x_n))\right|+\varepsilon.$$ Nótese ahora que, a partir de la convergencia débil, $$x_n^{(m)}\xrightarrow[m\to\infty]{}x_n$$ para $n=1,\dots N$ Por lo tanto, a partir de la continuidad de $f$ , $$f(x_n^{(m)})\xrightarrow[m\to\infty]{} f(x_n),$$ para $n=1,\dots N$ . Por lo tanto, existe $m_0\in\mathbb N$ tal que, para cualquier $m\geq m_0$ , $|f(x_n^{(m)})-f(x_n)|<N^{-1/q'}\varepsilon$ , para $n=1,\dots N$ Por lo tanto $$\begin{align*}\left|\left<y,Ax^{(m)}-Ax\right>\right|&\leq\left|\sum_{n=1}^Ny_n(f(x_n^{(m)})-f(x_n))\right|+\varepsilon\leq \|y\|_{q'}\left(\sum_{n=1}^N|f(x_n^{(m)})-f(x_n)|^{q}\right)^{1/q}+\varepsilon\\ &\leq\|y\|_{q'}\varepsilon+\varepsilon.\end{align*}$$ Esto demuestra que $$\left<y,Ax^{(m)}-Ax\right>\xrightarrow[m\to\infty]{}0,$$ por lo que $Ax^{(m)}$ converge débilmente a $Ax$ .